在咱们聊这玩意儿之前，得先搞清个根本前提：初等矩阵啥个儿。它跟一般/平平矩阵不一样，它是那种“只动一招”的矩阵。

比如把矩阵某行加了另一行，这招叫加行；某行乘个非零数，这叫标乘；某列加了另一列，这叫加列。

这三招，在矩阵理论里统称初等变换。 那这“初等”二字，到底是哪位发明的？是牛顿吧，他在那本《原理》里提过，用这招来解二次方程组。

不过，真正的系统化处理，还是高斯自己搞定的。大家都叫他高斯消元法，靠的是把矩阵变成最简形，也就是单位矩阵。

这时候，矩阵的最简形式，实际上就是这个初等矩阵的逆矩阵。 故此，初等矩阵的平方，听着有点冷，实际上并不复杂。核心逻辑就是：你是哪位，它就代表啥。

只要记住这个好办原则，任何关于初等矩阵的运算，实际上都是“哪位动它就多乘一次哪位”的难题。 举个例子，看看具体的数字乘法。假设有个矩阵 $A$ 和一个 $1 times n$ 的向量 $x$。先算 $A cdot x$，结局是个数 $y$。再算 $(A cdot x) cdot A$，拿到 $y cdot A$。

这时候，要是 $A$ 是 $m times 1$ 的列向量，那 $y cdot A$ 就是一个 $1 times n$ 的标量矩阵，它的每一行都等于 $y$。

这时候，$A$ 的平方，实际上就是把 $A$ 竖着叠一个 $A$。 反过来，再看看标量乘法。假设 $A$ 是 $m times n$ 的矩阵，$c$ 是个标量，$k$ 是个新的标量。算 $A cdot (c cdot A)$，结局就是 $c cdot (A cdot A)$。

这说明，当你算出一个标量 $c$ 再乘进去，然后再乘回 $A$，效果实际上只是把 $A$ 的两次乘法结局再乘一次 $c$。

也就是说，标量矩阵的平方，就是把原来的矩阵的平方再乘一个 $c^2$。 再看那“加行”的初等变换。

比如把矩阵的第一行加上第二行。

这时候，初等矩阵 $E$ 就是 $m times n$ 的矩阵，只有第一行变了。当我们要算 $E cdot (E cdot x)$ 时，先算 $E cdot x$，拿到的是第一行原来加上第二行之后的结局。再算 $E cdot (E cdot x)$，这相当于再进行一次“加行”操作。结局就是，整个中间过程被连续加行了两次。

这跟一般/平平矩阵乘法不一样，一般/平平矩阵乘法的 $E cdot (E cdot x)$ 里，中间的 $E cdot x$ 只是一个数，再乘 $E$ 的时候，$x$ 只是跟着那个数跑，不会变。但在初等矩阵的世界里，$E cdot x$ 的结局本身就是一个新的矩阵行，再乘 $E$，这个新的结局行又会被“加行”操作影响。

故此，$E$ 的平方，就是像把“加行”这个操作连续执行两次，要么说执行两次“加行”。 再来看“加列”。

比如把矩阵的第一列加上第三列。

这相当于把矩阵 $A$ 的列向量 $Col_3$ 塞进 $Col_1$ 的位置。

这时候，$E$ 就是一个 $m times n$ 的矩阵。当算 $E cdot (E cdot x)$ 时，先算 $E cdot x$，拿到的是第一列变成了原来第一列加第三列的结局。再算 $E cdot (E cdot x)$，这相当于把之前那个“第一列变了”的结局，再塞进去一次“第一列加第三列”。结局就是，原来的第一列，先加了第三列，然后再把刚刚拿到的结局，再加一次第三列。

故此，初等矩阵的平方，就是“加列”这个动作连续执行两次。 不过，这里有个细节要注意。

要是矩阵 $A$ 本身就是个列向量，那初等矩阵的形式就挺特殊。

要是 $A$ 是 $1 times 1$ 的，那加行加列没啥意义，只能乘。

要是 $A$ 是 $n times 1$ 的，那就是个列向量，加行加列就是映射 $A$ 的不同位置，本质上是 $A$ 的不同行变成原来的 $A$ 的不同行。

这时候，$A$ 的平方，就是把 $A$ 的不同行变成原来的 $A$ 的不同行，然后再变成不同的行，也就是 $A$ 变成 $A$ 的不同行，然后又是 $A$ 的不同行。

本质上，就是 $A$ 的“不同行”集合，被复制并重新排列了两次。 要是 $A$ 是 $m times n$ 的矩阵，且我们加行，比如把第 $i$ 行加上第 $j$ 行。

这时候，$A$ 的平方，就是把 $A$ 的“第 $i$ 行变了”的结局，再塞进“第 $i$ 行加第 $j$ 行”这个动作里。

也就是说，不管 $A$ 原来第 $i$ 行是啥，经过 $E$ 的平方之后，$A$ 的第 $i$ 行，会先变成 $A$ 的第 $i$ 行加 $j$ 行，然后再变成 $(A text{ 的第 } i text{ 行} + j text{ 行}) + j text{ 行}$。

这听起来有点绕，实际上就是把 $A$ 的第 $i$ 行，重复加了一次 $j$ 行。 同理，要是是初等矩阵的逆矩阵，那逻辑就反过来了。逆矩阵 $E^{-1}$，就是把 $E$ 里的“加行”变回“减行”。算 $E^{-1} cdot (E^{-1} cdot x)$，就是先减行，再减行，结局就是原来加行两次再减行两次，也就是加两次再减两次，结局就是原来的 $x$ 没变。

这时候，$A$ 的平方就是 $begin{pmatrix} 4 & 0 \ 0 & 9 end{pmatrix}$。

这说明，把第 1 行乘 2，平方之后就是第 1 行乘 2 再乘 2。 再试一个非对角的。设 $A = begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$。取 $E$ 把第 1 行加 1 到第 2 行。$E = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 end{pmatrix}$。先算 $E cdot x = begin{pmatrix} x \ x+x end{pmatrix} = begin{pmatrix} x \ 2x end{pmatrix}$。再算 $E cdot (E cdot x)$，就是把第 1 行加 1 到第 2 行。

原来的第 2 行是 $2x$，目前变成 $2x + 1 cdot x = 3x$，原来的第 1 行是 $x$，不动。结局就是 $begin{pmatrix} x \ 3x end{pmatrix}$。

这说明，把第 2 行加到第 1 行，再把这个结局再加到第 2 行。也就是把第 2 行加两次 1。 最终，得提一下“零矩阵”的情况。

要是 $A = mathbf{0}$，那 $E cdot (E cdot mathbf{0})$ 还是 $mathbf{0}$。

这没啥毛病，自然，$A$ 也是初等矩阵的情况。

要是 $A$ 是单位矩阵，那 $E cdot (E cdot I)$ 就是 $E^2$。

要是 $E$ 是 $I$ 的倍数，比如 $E = 2I$，那 $E^2 = 4I$。

这时候，矩阵乘法就退化成标量乘法了。 总而言之，记住一句话，初等矩阵的平方，就是把这个变换重复执行两次。

不管是加行、加列还是标乘，原理都一样。

只要把“哪位动哪位”这个概念抛出来，下面的所有运算，都能像变魔术一样，顺理成章地解释清楚。

这就够了。数学这东西，有时候就是如此朴实无华，只有理解了它的内核，那些公式才不会让你认定是死记硬背的砖。