椭圆：被拉长又被压扁的圆
你当作椭圆就是圆，拉点它，它就是个圆。
这倒也是没毛病，毕竟圆就是被“压扁”的圆嘛。但再想想，圆本来就是半径相等，椭圆上的点到两个定点距离之和是个定值，这玩意儿跟圆根本没法比。
要是把两个圆对折起来，重叠在一起，剩下的那个局部，形状就变了。好比两张纸交叉，一边是圆，另一边也是圆，要是你轻轻把中间这一小块弯折一下，它就不再是圆了，而是个椭圆。
大量人当作椭圆就是个“胖圆”，那是大错特错。椭圆实际上是个“扁圆”，要么说是个“长圆”。它有两个形状拍板它长相的关键参数，一个是长短轴，一个是扁率。长轴就是那个最长的直径，记为 $2a$；短轴就是那个最短的直径，记为 $2b$。
这两个轴互相垂直，一辈子交于中心点。椭圆的面积计算公式特别好办，就是 $pi ab$，跟这两个轴的长度直接挂钩。想算面积，你只需求知道这两个数相乘再乘以 $pi$ 就行，比圆的 $pi r^2$ 好办记多了。
先说说如何画个椭圆。最常用的办法是“作图法”，也就是焦半径法。要画一个长轴为 $2a$，短轴为 $2b$ 的椭圆，先画一条水平线，中间那个点叫焦点，记为 $F$。
然后在这条线上，找两个对称点，分别叫 $F_1$ 和 $F_2$，它们的距离都是 $2a$。再从 $F_1$ 和 $F_2$ 出发，画两条互相垂直的半径，长度分别为 $b$。
这两条线就是椭圆的两个主轴，它们把平面分成了四个象限。
接下来是最关键的一步：求椭圆上任意一点的坐标。想想，每一个椭圆上的点，到两个焦点的距离之和都得等于 $2a$。假设我们要找第一象限里的一个点 $P(x, y)$。
这个点肯定在长轴上方，故此它的横坐标 $x$ 肯定在 $0$ 到 $a$ 之间。
这个点在两个焦点之间，故此它的纵坐标 $y$ 肯定在 $0$ 到 $b$ 之间。
目前我们来推导 $x$ 和 $y$ 的对应关系。根据椭圆的定义，点 $P$ 到 $F_1$ 的距离加上点 $P$ 到 $F_2$ 的距离等于 $2a$。设 $F_1$ 的坐标就是 $(-a, 0)$，$F_2$ 的坐标就是 $(a, 0)$。
那么点 $P(x, y)$ 到 $F_1$ 的距离就是 $sqrt{(x - (-a))^2 + y^2}$，也就是 $sqrt{(x + a)^2 + y^2}$。
同理，到 $F_2$ 的距离就是 $sqrt{(x - a)^2 + y^2}$。
把这些加起来等于 $2a$ 列个方程：$sqrt{(x + a)^2 + y^2} + sqrt{(x - a)^2 + y^2} = 2a$。
这俩根号里都是开平方，略微有点费事，但列完方程后，两边平方，再化简，你会发现那个根号消掉了，最终拿到一个关于 $x$ 的代数方程。
把方程两边平方，第一项展开是 $(x+a)^2 + y^2$，第二项展开是 $(x-a)^2 + y^2$。它们加起来里有个 $y^2$，故此要移项消掉。
然后两边再平方，中间那一大坨根号项彻底消亡了，只剩下 $x$ 的二次项。
这时候要小心了，平方运算可能会引入额外的解，也就是解的增根。验证一下，代入原方程，确实只有 $x$ 在 $(-a, a)$ 范围内才成立，其他时候都不中。
化简到最终，你会发现 $x$ 和 $y$ 是有数学关系不能全放一边的。就像 $cos^2 theta + sin^2 theta = 1$ 一样，当你把 $x$ 算出来，代入这个关系式，就能拿到 $y$ 的表达式。
举个例子，假设我们要画一个长轴 $2a=6$，短轴 $2b=4$ 的椭圆。
那 $a=3$，$b=2$。根据上面的推导，$x$ 的取值范围是 $(-3, 3)$。当 $x=0$ 时，点就在短轴上，$y=pm 2$。当 $x=3$ 时，点就在长轴上，$y=0$。
还有一个特别有意思的现象，叫“共焦椭圆”。
要是你转变短轴的长短，只要保持短轴的长度不变，长轴的长度能够变，要么短轴的长度能够变，这些椭圆会一直绕着两个焦点旋转。别看它们看起来不一样的，但它们在几何上实际上是一回事。它们有两个共同点，也就是各自的焦点。
只要焦点位置固定，椭圆还能保持不变吗？
答案是能够的。
要是你转变椭圆本身，让短轴长度变大，长轴长度变小，它们就能重合。
也就是说，两个共焦椭圆，要是长短轴互换，它们就是彼此的镜像。
比如一个长轴是 $2a$ 短轴是 $2b$ 的椭圆，要是你把它旋转 $90$ 度，变成原来的长轴是 $2b$ 短轴是 $2a$ 的椭圆，这两个椭圆是彻底一样的形状。
说到共焦椭圆，不能不提它的实际意义。它在天文学里叫行星轨道。开普勒第三定律告诉我们，所有绕忒阳运行的行星，要是以忒阳为一个焦点，那么它们到忒阳的距离之和是个定值。
这个定值就是轨道的长轴长度。
故此，行星的轨道本质上就是个椭圆，而忒阳就坐在其中一个焦点上。
再说说拉格朗日点。想象一个人站在地球和忒阳之间的某个位置，这个人受到的地球和忒阳的引力大小相等，方向反之，合力为零。
这个位置就是“平衡点”。
要是这个人略微往地球这边挪一点，地球把他吸那会儿；往忒阳这边挪一点，忒阳把他吸那会儿；站得刚刚好，他就不动。
你想想，这种受力平衡的状态，在物理上对应的就是一个椭圆轨道。地球和忒阳的连线，就是椭圆的长轴，忒阳是一个焦点。
最终说说它的实际应用。GPS 卫星铺轨的时候，务必让卫星绕着地球转，并且卫星和地面的观测站之间，务必找个特殊的点，让信号同步。
这个点就是拉格朗日点，比如 L1 点。
要是在 L1 点建一个卫星，它不需求费力维持高度，出于它已经处于一个稳定的椭圆轨道上了。
全篇大约二百多字，算没错。后面再加点数据吧，比如水星轨道的离心率，要么月球绕地球的周期，再加个具体的计算过程，比如计算卫星 L1 点的距离。