高中几何图形公式大全：拿来就能用的“干货” 这玩意儿啥玩意儿你直接拿过来就能用，不用背那些拗口的定义，就是那些算数公式。高中数学本来就如此回事，有时候就是看你如何把点、线、面组合在一起，凑出个图形来。别老琢磨如何把逻辑理顺，实际上大量时候，只要背对背公式，直接套进去，就能绕过大局部坑。 直线与平面 两条直线 $l_1, l_2$ 平行，那它们的方向向量 $vec{v_1} cdot vec{v_2}$ 得是 0，要么 $cos theta = 0$。
要是算出斜率 $k$ 相等，那就平行；要是 $k$ 不相等但 $l_1 - l_2$ 是 1，那就是异面；那相交嘛，只要方向向量不共线就行。平面的话，要证平行得找两个相交直线，要么一个平面和一个平面垂直。
要是找垂直，得用线面垂直的判定定理，那就是找一条线垂直于平面内的两条相交线。
要是想证线面垂直，那得先证线线垂直，然后利用线面垂直的判定和定义，把那个垂直关系“吊”起来。 空间几何 空间里的距离，点到点得用空间两点间距离公式，$sqrt{(x_2-x_1)^2 + ...}$。点到直线呢，先得保证点在直线外，不然就是重合要么啥特殊情况。点到平面，那是点到平面的距离，公式是 $d = frac{|vec{PA} cdot vec{n}|}{|vec{n}|}$，这个一定要记住。两平行平面间的距离，实际上就是斜着量一个点到平面的距离。两异面直线间的距离，先得证它们平行，然后从一条直线上找一点，引垂线到另一条直线上，这个垂线段的长度就是距离。
还有两条异面直线夹角的余弦值，公式是 $cos theta = frac{|vec{AB} cdot vec{CD}|}{|vec{AB}| |vec{CD}|}$，这个别搞错了。 立体几何中的表面积和体积 表面积里，棱柱和棱锥的侧面积公式要熟背。
特别是棱柱，侧面展开是个矩形，面积是底乘以底边长。棱锥呢，侧面也是三角形，面积得用海伦公式算，要么用 $ frac{1}{2} cdot text{底} cdot text{高} $。
不过棱锥的侧面积有个特殊情况，就是正棱锥，侧面都是全等的等腰三角形，面积还得乘以 2。体积公式是 $V = frac{1}{3} S h$，这个哪位都能背。圆柱和圆锥的体积是 $frac{1}{2} pi r^2 h$，圆柱的表面积还得加上两个底面积。 解析几何——那些圆和圆锥曲线 圆的方程是 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$，这个绝对绕不开。圆锥曲线里，椭圆参数方程得记好 $x = a cos t, y = b sin t$ 这种，还有极坐标 $r = frac{ep}{1 + e cos theta}$ 那个。椭圆、双曲线、抛物线的定义得背，就是那个“平面上到定点距离之和比定焦距远”之类的。椭圆里 $a, b, c$ 的关系是 $a^2 = b^2 + c^2$，双曲线是 $a^2 - b^2 = c^2$。抛物线最费事的是焦半径公式，焦半径是 $d = |x + a|$ 要么 $|x - a|$，得根据开口方向来定。缩放变换的话，$(x, y) to (lambda x, lambda y)$ 面积扩大 $lambda^2$ 倍，周长扩大 $lambda$ 倍。 立体几何中的棱锥和棱柱的表面积、体积计算 棱锥表面积等于底面积加侧面积，侧面积展开就是底乘以斜高。棱柱表面积等于底面积乘以周长，侧面积就是底面周长乘以棱柱的高。体积都是那个 $V = S cdot h cdot frac{1}{3}$ 要么 $V = S cdot h$ 的变形。 圆锥曲线 抛物线的标准方程是 $y^2 = 2px$。圆锥曲线里，椭圆离心率是小于 1，双曲线是大于 1，抛物线是等于 1。圆锥曲线通式 $e = frac{text{焦半径}}{text{顶点到准线的距离}}$。焦半径的公式尤实际上用，抛物线 $r = frac{ep}{1 + e cos theta}$，椭圆 $r = frac{a}{1 + e cos theta}$，双曲线 $r = frac{a}{1 - e cos theta}$ 要么 $r = frac{a}{e cos theta}$，具体看是哪个象限。椭圆里 $a, b, c$ 还是那个 $a^2 = b^2 + c^2$。 立体几何中的线面关系、二面角、点到面的距离 线面平行的判定是线线平行且线线在平面内，要么线线在平面外且线线平行。线面垂直的判定是线线垂直且线线在平面内，要么线线在平面外且线线垂直。二面角的求法，用三垂线定理逆定理，要么用两个平面的法向量夹角。点到面的距离用点到平面的距离公式，要么用射影面积法，面积比是平方关系。 立体几何中的二面角与线面角的计算 二面角范围是 $0$ 到 $pi$，线面角范围是 $0$ 到 $frac{pi}{2}$。二面角用向量法，法向量夹角再取补角要么本身；线面角是法向量夹角余弦的绝对值。
还有线面角的本质就是直线和它在平面上的射影的夹角。 空间几何中的点到直线的距离、线面距离、点到平面的距离 点到直线距离用点到直线的距离公式，要么射影面积法。线面距离就是点到平面的距离。点到平面距离用点到平面的距离公式。 立体几何中的棱柱、棱锥的侧面积、表面积、体积 棱柱侧面积是底面周长乘以高。棱锥侧面积是底面周长乘以斜高乘以 $frac{1}{2}$。棱锥体积是底面积乘以高除以 3。棱柱体积是底面积乘以高。 圆锥、圆台的侧面积、表面积、体积 圆锥侧面积是 $pi r l$，表面积是 $pi r l + pi r^2$。圆台侧面积是 $pi(r_1 + r_2) l$，表面积是 $pi r_1^2 + pi r_2^2 + pi r_1 r_2$。圆台体积是 $frac{1}{3} pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$。 解析几何——二次曲线的方程 圆锥曲线方程分类挺关键，椭圆标准方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，双曲线 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，抛物线 $y^2 = 2px$。圆锥曲线定义就是到定点距离之和或差等于定值。圆锥曲线离心率是关键，$0 < e < 1$ 是椭圆，$e = 1$ 是抛物线，$e > 1$ 是双曲线。 解析几何——圆锥曲线的参数方程 圆是 $begin{cases} x = a cos theta \ y = b sin theta end{cases}$。椭圆是 $begin{cases} x = a cos theta \ y = b sin theta end{cases}$。双曲线是 $begin{cases} x = a sec theta \ y = b tan theta end{cases}$。抛物线是 $begin{cases} x = frac{p}{2} t^2 \ y = t end{cases}$。 解析几何——圆锥曲线的极坐标方程 圆是 $r = frac{p}{1 - cos theta}$。椭圆是 $r = frac{ep}{1 + e cos theta}$。双曲线是 $r = frac{ep}{e cos theta}$。抛物线是 $r = frac{ep}{1 + cos theta}$。 解析几何——直线 直线方程有 $x = x_0 + m(t - x_0)$ 这种参数方程，还有 $Ax + By + C = 0$。直线和直线的交点求解得用联立方程组。直线和圆的交点，得令方程右边等于 0 判别式大于 0。 解析几何——圆锥曲线 圆锥曲线有 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ 这种标准方程。圆锥曲线有 $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ 这种。圆锥曲线有 $y^2 = 2px$ 这种。圆锥曲线有极坐标方程 $r = ep / (1 pm e cos theta)$ 这种。 解析几何——椭圆、双曲线、抛物线 椭圆参数方程是 $begin{cases} x = a cos theta \ y = b sin theta end{cases}$。椭圆参数方程是 $begin{cases} x = a cos theta \ y = b sin theta end{cases}$。双曲线参数方程是 $begin{cases} x = a sec theta \ y = b tan theta end{cases}$。双曲线参数方程是 $begin{cases} x = a sec theta \ y = b tan theta end{cases}$。抛物线参数方程是 $begin{cases} x = frac{p}{2} t^2 \ y = t end{cases}$。 解析几何——圆锥曲线的统一定义 统一定义就是到定点距离等于定值，要么到定点距离之和等于定值，要么到定点距离之差等于定值。 解析几何——直线与圆锥曲线的交点 直线和圆顶多两个交点，直线和椭圆顶多四个交点，直线和双曲线顶多两个交点。 解析几何——圆的方程 圆的标准方程是 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。圆的方程是 $x^2 + y^2 = r^2$。圆的极坐标方程是 $r = rho cos theta + rho sin theta$。 解析几何——圆台 圆台方程是 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = frac{z^2}{c^2}$。圆台方程是 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = frac{z^2}{c^2}$。圆台的方程是 $r = k z$。 解析几何——抛物线 抛物线方程是 $y^2 = 2px$。抛物线方程是 $x^2 = 2py$。抛物线方程是 $x^2 = 4py$。 立体几何中的线面平行的判定 线线平行且线线在平面内，要么线线在平面外且线线平行。 立体几何中的线面垂直的判定 线线垂直且线线在平面内，要么线线在平面外且线线垂直。 立体几何中的二面角的求法 三垂线定理逆定理，要么两个平面的法向量夹角。 立体几何中的点到平面的距离 点到平面的距离公式，要么射影面积法。 立体几何中的二面角与线面角 二面角范围是 $0$ 到 $pi$，线面角范围是 $0$ 到 $frac{pi}{2}$。 立体几何中的棱柱、棱锥的侧面积、表面积、体积 棱柱侧面积是底面周长乘以高。棱锥侧面积是底面周长乘以斜高乘以 $frac{1}{2}$。棱锥体积是底面积乘以高除以 3。 立体几何中的圆锥、圆台的侧面积、表面积、体积 圆锥侧面积是 $pi r l$，表面积是 $pi r l + pi r^2$。圆台侧面积是 $pi(r_1 + r_2) l$，表面积是 $pi r_1^2 + pi r_2^2 + pi r_1 r_2$。圆台体积是 $frac{1}{3} pi h (r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)$。 解析几何中的直线与圆锥曲线的交点 直线和圆顶多两个交点，直线和椭圆顶多四个交点，直线和双曲线顶多两个交点。 总结 看，这就是高中几何公式的汇总，不用背那些长篇大论的定义，直接看公式，看数据，看结论。
只要记得这些公式，根本就能应付大局部计算题和证明题。别再去研究那些挺难理解的逻辑推演，有时候只背对背公式，直接套进去就能解决难题。几何这东西，说白了就是空间想象力和计算的结合，公式就是它给出的语言工具。
最终，希望你用这些公式把高中数学搞明白，赶明儿用不上也能想起来，这才是真正学过的感觉。
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