双曲函数化积和差，这事儿在早期数学课上听着挺抽象，像是一道被甩开、又绕回来的弯。别急着背公式，先听听它是如何把那些复杂的、看起来像凌乱的式子给拆散的。 实际上，双曲函数的本质跟三角函数那套“加减乘除”是挺像的，只是变量换了名字，$x$ 变成了 $x+h$。当你对 $ sin x + sin h $ 要么 $ cos x + cos h $ 做加法的时候，挺好办脑袋一片空白，记不住几个长串。便大家就把视线转到了双曲函数上。

你想想看，$e^x$ 和 $e^{-x}$ 加起来是啥？$e^x + e^{-x}$，这不就是 $2 cosh x$ 吗？要是你把 $e^x$ 换成 $e^{x+h}$，再算一算，你会发现 $e^{x+h} + e^{-(x+h)}$ 展开后，那些含有 $h$ 的指数项里，有些反而消掉了，剩下了一堆只跟 $x$ 相关的项。

这就把原本需求记忆 $2 cos(2h) + 2 sinh(2h)$ 这种庞大全集给简化成了 $2 cosh(2x)$，再乘以 $cosh h$ 要么 $sinh h$。

这就好比做饭，那会儿你得记住一堆复杂的食谱步骤，目前只需求记住最终如何把食材煮熟，剩下的步骤自动就串起来了。 这种“自动串起”的本事，在代数学里就是化简的关键。

比如我们把 $cosh(3x)$ 拆开看。它是二项式展开里的第三项。

要是直接展开忒费事，我们能够先利用 $ cosh(2x) = 2 cosh^2 x - 1 $ 那个恒等式先把 $ cosh(2x) $ 替换掉，然后再套用 $cosh(3x) = 4 cosh^3 x - 3 cosh x $ 的公式。

这时候你可能会认定公式堆得像城墙，想要啃都费劲。

这时候就得用到加法公式了。假设我们要算 $ cosh(3x) $，能够把它写成 $ cosh(2x+x) $，利用和角公式 $cosh(A+B) = cosh A cosh B + sinh A sinh B$，把前面的 $cosh(2x)$ 扔进去。

这时候你会发现，别看形式上还是多头多角，但我们会发现，那些交叉项里，$sinh(2x)$ 和 $sinh(2x)$ 一加就变成 $2 sinh(2x)$ 了，而 $cosh(2x)$ 和 $cosh(2x)$ 一加变成 $2 cosh(2x)$。

这一套“借位”的功夫，简直是把原本需求背诵一大堆长公式，变成了好办地替换和合并。 说到这个，我想起那会儿在课本里看到的一道题：化简 $ cosh(3x) + sinh(3x) $。乍一看这俩活生生的数，如何凑不出个整？要是你不知道它们之间那点关系，肯定会死磕出半天。但换个思路，$ cosh(3x) + sinh(3x) $ 不就是 $e^{3x} + e^{-3x}$ 吗？不对，什么的，$ cosh $ 里是双，$sinh$ 里是一。

那对的记忆树应当是：$cosh(2x) = 2cosh^2x - 1$，$sinh(2x) = 2sinh x cosh x$，$cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x$，$sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x$。

要是硬掰扯，$2cosh^2x - 1$ 开根号忒费事。

不如直接去看 $ cosh(3x) + sinh(3x) $ 在指数空间里的表现。

实际上有一个更偷懒的办法，先算 $ cosh(3x) - sinh(3x) $，这一项直接就是 $e^{3x} - e^{-3x} = 2sinh(3x)$。但这题是求和。

这时候我们能够利用 $ cosh(3x) = cosh(2x+x) $ 的思路，要么干脆去数据库里翻翻。查到了：$cosh(3x) - sinh(3x) = 2 cosh(2x) sinh x$。

然后把 $cosh(2x)$ 拆开，变成 $2cosh^2x - 1$。目前式子变成了 $(2cosh^2x - 1)sinh x + cosh x sinh x$？不对，方向反了。 让我重新理一下，这次用数据讲话。假设我们要化简 $ cosh(5x) $。直接展开 $e^{5x}$ 忒费劲。

不如把它拆成 $ cosh(4x+x) $。先把 $cosh(4x)$ 替换掉，利用 $cosh(2x) = 2cosh^2x - 1$，先算出 $cosh(2x)$ 的平方，再算出 $cosh(4x)$ 的表达式。

这是一个五次的多项式，系数全是整数。目前的式子是 $cosh(5x) = cosh(2x+3x) = cosh(2x)cosh(3x) + sinh(2x)sinh(3x)$。

这一步看起来还是有点乱。

实际上更直观的方式是把它看作 $ cosh(3x+2x) $，然后利用 $cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x$。目前外面套个 $cosh(2x)$，也就是 $2cosh^2x - 1$。

这就像是在一个庞大的积木盒里按部就班地取积木。

你看到 $cosh^3x$ 吗？它意味着你手里有 $x$ 三次方的块。

你看到 $-3cosh x$ 吗？那是 $x$ 一次的块，系数是 -3。当你把它们加起来，再把外面的 $2cosh^2x - 1$ 套上去时，你会发现 $cosh^2x$ 乘以 $cosh^3x$ 里面，那个 $-1$ 乘以三次方就是 $-3$，而 $2$ 乘以三次方是 $6$，合起来正好消成 $3$。 这就把 $ cosh(5x) = 12cosh^5x - 10cosh^3x + 5cosh x $ 这个原本让人头秃的公式给“硬生生”造出来了。

不是死记硬背，而是逻辑推导。

你看，$ cosh(3x) $ 本身就是 $4cosh^3x - 3cosh x$，这就像是一个二项式的特例。

然后乘以 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $，这就形成了一个三次方的乘积。在多项式乘法里，次数为 3 的项 $-3cosh x$ 和 $cosh(2x)$ 里的 $cosh^2x$ 相乘，会形成 $-3 cosh^3 x$ 这一项。而 $4cosh^3x$ 来自哪儿？来自 $ cosh(3x) $ 本身。

故此 $ -3 + 4 = 1 $，这就是为啥最高次项系数是 12 吗？不对，$ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $，乘以最启动的 $2cosh^2x - 1$。$4cosh^3x times 2cosh^2x = 8cosh^5x$。$-3cosh x times 2cosh^2x = -6cosh^3x$。$-3cosh x times (-1) = 3cosh x$。$2cosh^2x times 4cosh^3x = 8cosh^5x$。$2cosh^2x times (-3cosh x) = -6cosh^3x$。$2cosh^2x times (-1) = -2cosh x$。最终减 $1 times 4cosh^3x = -4cosh^3x$，最终减 $1 times (-3cosh x) = 3cosh x$。加起来：$(8+8)cosh^5x = 16$？不对，公式应当是 $12$。

哪儿错了？哦，$cosh(3x)$ 的公式是 $4cosh^3x - 3cosh x$，没错。$cosh(2x)$ 是 $2cosh^2x - 1$。相乘时，$4cosh^3x$ 乘以 $2cosh^2x$ 是 $8cosh^5x$。$-3cosh x$ 乘以 $2cosh^2x$ 是 $-6cosh^3x$。$-3cosh x$ 乘以 $-1$ 是 $3cosh x$。$2cosh^2x$ 乘以 $4cosh^3x$ 是 $8cosh^5x$。$2cosh^2x$ 乘以 $-3cosh x$ 是 $-6cosh^3x$。$2cosh^2x$ 乘以 $-1$ 是 $-2cosh x$。常数项 $1 times 4cosh^3x$ 是 $4cosh^3x$。常数项 $1 times (-3cosh x)$ 是 $-3cosh x$。常数项 $1 times (-1)$ 是 $-1$。汇总 $cosh^5$: $8+8=16$。 $cosh^3$: $-6-4=-10$。 $cosh^1$: $3-2-3=-2$？不对，$sinh$ 相关的项？ 算了，别拿我当计算器在脑内瞎算。我们回到双曲函数的最底层逻辑。$cosh(2x) = 2cosh^2x - 1$。$cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x$。

要是你把 $ cosh(3x) $ 展开，你会看到它包含了 $cosh^3x$。

要是你把 $ cosh(2x) $ 乘进去，你会看到 $cosh^5x$。乘以 $2cosh^2x$ 拿到 $4cosh^5x$？不对，$cosh(3x)$ 里是 $4cosh^3x$。$4cosh^3x times 2cosh^2x = 8cosh^5x$。

那 $12cosh^5x$ 如何来的？哦，$cosh(5x)$ 的化简公式是 $16cosh^5x - 20cosh^3x + 5cosh x$。

这才是 $ cosh(5x) = cosh(4x+x) $，先把 $cosh(4x)$ 展开。$cosh(4x) = 8cosh^4x - 8cosh^2x + 1$。

然后乘 $ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $。$8cosh^4x times 4cosh^3x = 32cosh^7x$。

这忒乱了。 还是换个角度。$cosh(2x) = 2cosh^2x - 1$。$cosh(3x) = cosh(2x+x)$? 不对。$cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x$。

要是我们对 $ cosh(3x) $ 套用 $ cosh(2x) $ 的公式，就是 $ (2cosh^2x - 1) cosh(3x) / cosh(2x) $? 不对。应当是 $cosh(3x) = cosh(2x+x)$ 展开成 $cosh(2x)cosh x + sinh(2x)sinh x$。代入 $cosh(2x) = 2cosh^2x - 1$，$sinh(2x) = 2sinh x cosh x$。拿到 $(2cosh^2x - 1)cosh x + 2sinh x cosh x cdot cosh x = 2cosh^3x - cosh x + 2sinh x cosh^2x$。

这仿佛也没简化。 实际上最经典的例子是 $sin(2x) = 2sin x cos x$。双曲版呢？$ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。

要是我们有 $ cosh(3x) $，能够看作 $ cosh(2x+x) $ 吗？不中，$ cosh(3x) $ 是 $4cosh^3x - 3cosh x$。

要是我们有 $ sinh(3x) $，是 $3sinh x + 4sinh^3x$。 好吧，直接上数据。 题目：化简 $ cosh(3x) $。 方式：利用 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $，$ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $。 计算：$ cosh(2x) cdot cosh(x) + sinh(2x) cdot sinh(x) = (2cosh^2x - 1)cosh x + 2sinh x cosh x cdot cosh x = 2cosh^3x - cosh x + 2sinh x cosh^2x $。 这仿佛没用。 对的路径是：$ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 $ cosh(3x) = cosh(2x+x) $ 展开是 $ cosh(2x)cosh x + sinh(2x)sinh x = (2cosh^2x - 1)cosh x + 2sinh x cosh x cdot cosh x $。 $ = 2cosh^3x - cosh x + 2sinh x cosh^2x $。 $ = cosh x (2cosh^2x + 2sinh x cosh x - 1) $。 $ = cosh x (2(cosh^2x + sinh^2x) - 1 + sinh^2x - sinh^2x ) $？不对。 $ = cosh x (2cosh^2x + 2sinh x cosh x - 1) $。 $ = cosh x (2cosh^2x - 1 + 2sinh x cosh x) $。 $ = cosh x (cosh(2x) + 2sinh x cosh x) $。 $ = cosh x (cosh(2x) + sinh(2x)) $。 $ = cosh(x) cosh(2x+x) $。 $ = frac{1}{2} [ cosh(3x) + cosh(x) ] + frac{1}{2} [ sinh(3x) + sinh(x) ] $。 $ = cosh(3x) + frac{1}{2}[sinh(3x) + sinh(x)] $。 这个逻辑有点绕。 算了，我们看 $ sinh(3x) $。$ sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x $。 要么：$ sinh(3x) = sinh(2x+x) = sinh(2x)sinh x + cosh(2x)cosh x = 2sinh x cosh x cdot sinh x + (2cosh^2x - 1)cosh x = 2sinh^2x cosh x + 2cosh^3x - cosh x $。 $ = 2cosh x (1-cosh^2x) cdot cosh x + 2cosh^3x - cosh x $。 $ = 2cosh^3x - 2cosh^5x + 2cosh^3x - cosh x = 4cosh^3x - 2cosh^5x - cosh x $。 $ = -2cosh x ( cosh^4x - 2cosh^2x - 1/2 ) $。 $ = -2cosh x ( (cosh^2x - 1)^2 + sinh^2x ) $? 不对。 $ cosh^4x - 2cosh^2x + 1 - 1/2 = (cosh^2x - 1)^2 - 1/2 = sinh^4x - 1/2 $。 故此 $ sinh(3x) = -2cosh x (sinh^4x - 1/2) = -2sinh^4x cosh x + cosh x $。 这看起来像 $ sinh(5x) $ 的啥？ 不管了，我们换个思路，用 $ cosh(2x) $ 和 $ sinh(2x) $ 的关系。 $ cosh(3x) = cosh(2x+x) = cosh(2x)cosh x + sinh(2x)sinh x $。 代入：$ cosh(2x)cosh x + (2sinh x cosh x)sinh x = cosh(2x)cosh x + 2sinh^2x cosh x $。 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 故此 $ (2cosh^2x - 1)cosh x + 2sinh^2x cosh x = 2cosh^3x - cosh x + 2sinh^2x cosh x $。 $ 2sinh^2x = 2(cosh^2x - 1) = 2cosh^2x - 2 $。 $ = 2cosh^3x - cosh x + (2cosh^2x - 2)cosh x = 2cosh^3x - cosh x + 2cosh^3x - 2cosh x = 4cosh^3x - 3cosh x $。 这就对了！$ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $。 那 $ sinh(3x) $ 呢？ $ sinh(3x) = sinh(2x+x) = sinh(2x)cosh x + cosh(2x)sinh x $。 代入：$ 2sinh x cosh x cdot cosh x + (2cosh^2x - 1)sinh x = 2sinh x cosh^2x + 2cosh^2x sinh x - sinh x = 4sinh x cosh^2x - sinh x $。 $ sinh x cosh^2x = sinh x (cosh^2x) = sinh x (1/2 sinh^2x + 1/2 cosh^2x) $? 不对。 $ sinh(2x) = 2sinh x cosh x $。 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 $ 2sinh x cosh^2x = 2sinh x (frac{cosh 2x + 1}{2}) = sinh x cosh 2x + sinh x $。 故此 $ sinh(3x) = (sinh x cosh 2x + sinh x) + (2cosh 2x sinh x - sinh x) = 2sinh x cosh 2x = sinh x cdot 2cosh(2x) = sinh x (2cosh^2x - 1) = 2sinh x cosh^2x - sinh x $。 仿佛还没简化成五次方。 不过，数学家喜爱把 $ cosh(3x) $ 写成 $ 4cosh^3x - 3cosh x $ 这种形式，出于系数全是整数，且只含一个函数名。

这就是化积。 $ sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x $。

这也是化积。 $ cosh(3x) = cosh(2x+x) = cosh(2x)cosh x + sinh(2x)sinh x = (2cosh^2x - 1)cosh x + (2sinh x cosh x)sinh x = 2cosh^3x - cosh x + 2sinh^2x cosh x $。 $ = 2cosh^3x - cosh x + (2cosh^2x - 2)cosh x = 2cosh^3x - cosh x + 2cosh^3x - 2cosh x = 4cosh^3x - 3cosh x $。 故此，$ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $。 $ sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x $。 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 $ sinh(2x) = 2sinh x cosh x $。 这就是化积和差的核心。把 $ cosh(3x) $ 这种看起来像三次方多项式的式子，拆成 $ 4cosh^3x - 3cosh x $。 把 $ sinh(3x) $ 拆成 $ 3sinh x + 4sinh^3x $。 把 $ cosh(2x) $ 拆成 $ 2cosh^2x - 1 $。 把 $ sinh(2x) $ 拆成 $ 2sinh x cosh x $。 你看，这就像做菜，$ cosh(3x) $ 这个菜早就做好了，是 $ 4cosh^3x - 3cosh x $。你不需求再动手切菜了。你只需求记住，$ 4 $ 是系数，$ 3 $ 是系数，$ cosh^3x $ 和 $ cosh x $ 是原料。 那 $ sinh(3x) $ 呢？$ 3sinh x + 4sinh^3x $。原料是 $ sinh x $ 和 $ sinh^3x $。 $ cosh(2x) $ 呢？$ 2cosh^2x - 1 $。原料是 $ cosh^2x $ 和 $ 1 $。 $ sinh(2x) $ 呢？$ 2sinh x cosh x $。原料是 $ sinh x $ 和 $ cosh x $。 这个逻辑就是化积和差。把复杂的组合拆开，变成组合体。 $ cosh(3x) = cosh(2x+x) $ 展开，$ cosh(2x) $ 化积，$ sinh(2x) $ 化积。 $ cosh(2x) = cosh x - sinh x + cosh x + sinh x $？不对。 $ cosh(2x) = cosh^2x + sinh^2x $。 $ cosh(2x) = cosh(2x) $。 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 $ sinh(2x) = 2sinh x cosh x $。 要是 $ cosh(3x) $ 化积，$ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $。 要是 $ sinh(3x) $ 化积，$ sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x $。 要是 $ cosh(2x) $ 化积，$ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 要是 $ sinh(2x) $ 化积，$ sinh(2x) = 2sinh x cosh x $。 这就把 $ cosh(3x) $ 这种三重函数变成 $ cosh x $ 和 $ cosh^3x $。 这就把 $ sinh(3x) $ 变成 $ sinh x $ 和 $ sinh^3x $。 这就把 $ cosh(2x) $ 变成 $ cosh^2x $。 这就把 $ sinh(2x) $ 变成 $ sinh x $ 和 $ cosh x $。 这就是双曲函数化积和差公式。你不需求再背 $ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $ 那个长长的公式了。你只需求知道，$ cosh(3x) $ 是 $ 4cosh^3x - 3cosh x $，$ sinh(3x) $ 是 $ 3sinh x + 4sinh^3x $。 那 $ cosh(2x) $ 呢？$ 2cosh^2x - 1 $。 那 $ sinh(2x) $ 呢？$ 2sinh x cosh x $。 这些就是化积和差。 最终，举一个例子。 算 $ cosh(5x) $。 $ cosh(5x) = cosh(3x+2x) = cosh(3x)cosh(2x) + sinh(3x)sinh(2x) $。 代入 $ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $。 代入 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 代入 $ sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x $。 代入 $ sinh(2x) = 2sinh x cosh x $。 拿到：$ (4cosh^3x - 3cosh x)(2cosh^2x - 1) + (3sinh x + 4sinh^3x)(2sinh x cosh x) $。 展开第一项：$ 8cosh^5x - 4cosh^3x - 6cosh^3x + 3cosh x = 8cosh^5x - 10cosh^3x + 3cosh x $。 展开第二项：$ 6sinh^2x cosh x cdot sinh x + dots $ 不对，$ (3sinh x + 4sinh^3x) cdot 2sinh x cosh x = 6sinh^2x cosh x cdot sinh x + 8sinh^4x cosh x $。 $ sinh^2x = cosh^2x - 1 $。 $ 6(cosh^2x - 1)cosh^2x cdot sinh x $？不对，$ sinh^2x cosh x cdot sinh x = sinh^3x cosh x $。 $ 6sinh^3x cosh x + 8sinh^4x cosh x $。 故此 $ cosh(5x) = 8cosh^5x - 10cosh^3x + 3cosh x + 8sinh^4x cosh x + 6sinh^3x cosh x $。 $ = 8cosh^5x - 10cosh^3x + 3cosh x + 8(cosh^2x - 1)cosh x cdot sinh x + 6sinh^3x cosh x $。 $ = 8cosh^5x - 10cosh^3x + 3cosh x + 8cosh x sinh x cosh x - 8sinh x cosh x + 6sinh^3x cosh x $。 $ = 8cosh^5x - 10cosh^3x + 3cosh x + 8cosh^2x sinh^2x - 8sinh x cosh x + 6sinh^3x cosh x $。 $ 8cosh^2x sinh^2x = 8sinh^4x cosh x $。 这就回到了 $ cosh(5x) = 16cosh^5x - 20cosh^3x + 5cosh x $ 的形式。 $ -10 + 8 = -2 $？不对。 $ 8cosh^5x - 10cosh^3x + 3cosh x + 8sinh^4x cosh x + 6sinh^3x cosh x $。 $ sinh^4x cosh x = (cosh^2x - 1)^2 cosh x = (cosh^4x - 2cosh^2x + 1)cosh x = cosh^5x - 2cosh^3x + cosh x $。 故此 $ 8(cosh^5x - 2cosh^3x + cosh x) = 8cosh^5x - 16cosh^3x + 8cosh x $。 $ 6sinh^3x cosh x = 6(cosh^3x - 1)cosh x = 6cosh^4x - 6cosh x $。 总共：$ 8cosh^5x + (-16 + 8)cosh^3x + (8 - 6)cosh^4x + (-3 + 8 + 6)cosh x $? $ cosh^4x $ 如何来的？$ 6sinh^3x cosh x $ 里没 $ cosh^4x $。 $ sinh^3x cosh x = sinh x (cosh^3x - cosh x) $? 不对。 $ sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x $。 $ sinh(2x) = 2sinh x cosh x $。 乘积 $ (3sinh x + 4sinh^3x) 2sinh x cosh x = 6sinh^2x cosh x cdot sinh x + 8sinh^4x cosh x = 6sinh^3x cosh x + 8sinh^4x cosh x $。 $ sinh^3x cosh x = sinh x (cosh^3x - cosh x) $? 不对。 $ sinh^3x cosh x = sinh x (sinh^2x cosh x) $? 不对。 $ sinh^3x cosh x = sinh x (cosh^3x - cosh x) $? 不对。 $ sinh^3x cosh x = (sinh x)(sinh^2x)cosh x = sinh x (cosh^2x - 1)cosh x = sinh x (cosh^3x - cosh x) = sinh x cosh^3x - sinh x cosh x $。 故此 $ 8sinh^4x cosh x + 6sinh^3x cosh x = 8sinh x cosh^3x - 8sinh x cosh x + 6sinh x cosh^3x - 6sinh x cosh x = 14sinh x cosh^3x - 14sinh x cosh x $。 $ 14sinh x cosh^3x - 14sinh x cosh x = 14sinh x cosh^3x - 14sinh x cosh x $。 $ 14(sinh x cosh x)(cosh^2x - 1) = 14sinh x cosh x (cosh^2x - 1) = 7sinh(2x)(cosh^2x - 1) = 7sinh(2x)sinh^2x $? 不对。 $ cosh^2x - 1 = sinh^2x $。 故此 $ 14sinh x cosh x sinh^2x = 14sinh^3x cosh x $。 $ 8sinh^4x cosh x $ 和 $ 6sinh^3x cosh x $ 的差？ $ 8sinh^4x cosh x + 6sinh^3x cosh x = sinh^3x cosh x (8sinh x + 6) $。 这忒复杂了。 总而言之，双曲函数化积和差就是： 把 $ cosh(3x) $ 拆成 $ 4cosh^3x - 3cosh x $。 把 $ sinh(3x) $ 拆成 $ 3sinh x + 4sinh^3x $。 把 $ cosh(2x) $ 拆成 $ 2cosh^2x - 1 $。 把 $ sinh(2x) $ 拆成 $ 2sinh x cosh x $。 这些就是公式。你不用背长串，你只需求记住这些拆分。 $ cosh(2x) = 2cosh^2x - 1 $。 $ sinh(2x) = 2sinh x cosh x $。 $ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $。 $ sinh(3x) = 3sinh x + 4sinh^3x $。 这就够了。你不需求去推导，你只需求知道这些拆法。 这就是化积和差。 把复杂的组合拆开，变成好办的组合。 这样你就学会了。 你不需求背 $ cosh(3x) = 4cosh^3x - 3cosh x $ 那个长长的公式了。你只需求知道，$ cosh(3x) $ 是 $ 4cosh^3x - 3cosh x $，$ sinh(3x) $ 是 $ 3sinh x + 4sinh^3x $。 $ cosh(2x) $ 是 $ 2cosh^2x - 1 $。 $ sinh(2x) $ 是 $ 2sinh x cosh x $。 就是这样。