高中数学极限公式大全 别整那些废话，直接上干货。高中数学里的极限，实际上就那一套，背熟了赶明儿，考试根本不用想复杂，一眼就能看穿。 常数与无穷 先说那些最基础的。$1 to 1$，$0 to 0$，$a to a$。

这些一眼就能看出来，要不就题目特坑你，让你去求 $0 cdot infty$ 这种不定型。 最费事的就是 $infty - infty$ 和 $infty cdot 0$。

记住一个技巧，把它们凑成 $frac{0}{0}$ 要么 $frac{infty}{infty}$ 的样子。

比如求 $lim_{x to infty} (sin x + cos x)$，原式等于 $lim frac{sin x + cos x}{1}$，$infty/1$ 得 $infty$，但这是错的，出于分子震荡。

这时候得把分子拆开，变成 $frac{sin x}{1} + frac{cos x}{1}$，这样 $sin x$ 和 $cos x$ 有界，极限就是 $0 + 0 = 0$。 还有那个 $frac{0}{0}$ 型。洛必达法则就是为此生的。分子分母求导，再求导，直到变不出为止。但这玩意儿只能算一次，算过了还得会换。

还有 $frac{infty}{infty}$ 型，只要用洛必达，分母变导数，分子变导数。 关键极限 这几个公式是绕不开的天菜。$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$ 和 $lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$ 是绝对核心。 $ln(1+x)$ 的极限也挺关键，记得 $1 cdot 0 = 0$ 也不是啥好兆头。

比如 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$。

还有 $lim_{x to 0} (1 + x)^{frac{1}{x}} = e$，这个要记成 $1^1 = e$ 的变形。 幂指函数的极限公式也不能忘。

特别是 $lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$ 还有 $lim_{x to infty} left(frac{1}{1 + frac{1}{x}}right)^x = e$。 关键极限的变形 $lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x} = 1$，这个时常考，记得写成 $e cdot frac{e^x - 1}{xe} implies lim frac{e^x-1}{x} = 1$。 还有 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$ 和 $lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x} = 1$ 这两个一起用，时常一起出现。 特殊函数的极限 三角函数、对数函数、指数函数的极限，一般手算不算难，但写过程好办晕。

比如 $lim_{x to 0} sin x = 0$，$lim_{x to 0} cos x = 1$。 接下来是变限积分，这是重点。$lim_{x to infty} int_x^infty f(t) dt = 0$，这个在积分法里用得多。

还有 $lim_{n to infty} int_0^x f(t) dt = int_0^x lim_{n to infty} f(t) dt$，把极限移进去算。 常用极限公式 再列几个常考的。$lim_{x to infty} frac{1}{x^k} = 0$ （$k > 0$）。$lim_{x to 0} (1+x)^{frac{1}{x}} = e$。$lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x = e$。$lim_{x to infty} (frac{1}{1 + frac{1}{x}})^x = e$。 还有 $lim_{n to infty} left(1 + frac{a}{n}right)^n = e^a$。

这个 $a$ 是任意实数。 分段函数极限 分段函数求极限，务必看分段点两边。

要是是 $a_n = n^2$ 这种多项式，极限是 $infty$。

要是是 $a_n = n$，极限是 $infty$。 要是是 $lim_{n to infty} frac{1}{n}$，极限是 0。

要是分子分母都是无穷大，比如 $n to infty$ 时 $frac{n^2+1}{n+1}$，等于 $infty$，出于分子分母同阶，提公因式约掉剩 $n$，还是无穷大。 无穷小与无穷大 无穷小的定义，就是当 $x to 0$ 时，极限为 0。无穷大的定义，就是当 $x to 0$ 时，极限为 $infty$。 无穷小和无穷大的性质，比如和为零，则无穷小是必保的；积为零，则无穷小是必保的。

还有，无穷小乘常数，还是无穷小；常数乘无穷小，还是无穷小。 未定式处理策略 遇到极限，先判断类型。$0/0$ 用洛必达；$infty-infty$ 拆分；$infty cdot 0$ 改成分式；$1^infty$ 取对数；$0^0$ 取对数；$1^infty$ 取对数。 比如求 $lim_{x to 0} (1 + sin x)^{frac{1}{sin x}}$。取对数 $ln$，得 $ln(1 + sin x)^{frac{1}{sin x}} = frac{ln(1+sin x)}{sin x}$，这是 $frac{0}{0}$ 型，用洛必达，分子分母求导，得 $frac{cos x}{cos x} = 1$，故此原式是 $e^1 = e$。 再比如 $lim_{x to 0} (1 + x)^{frac{1}{x}}$，取对数得 $frac{1}{x} ln(1+x)$，洛必达得 1，故此是 $e$。 定积分的极限 定积分左右极限，$lim_{x to a^+} int_x^b f(t) dt$ 和 $lim_{x to a^-} int_a^x f(t) dt$。 还有积的极限，$lim_{n to infty} int_0^n f(x) dx = int_0^infty f(x) dx$。 应用实例 举个例子，求 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$。

这是 $0/0$ 型，用洛必达，$frac{cos x}{1} to 1$。

要么用关键极限 $frac{sin x}{x} = frac{sin x}{1} = frac{sin x}{tan x} cdot frac{tan x}{x} = cos x cdot 1 to 1$。 再比如求 $lim_{n to infty} sum_{k=1}^n frac{1}{n+k}$。

这是定积分，变成 $int_0^1 frac{1}{x+1} dx = [ln(x+1)]_0^1 = ln 2$。 常见陷阱 最好办掉进去的坑是 $0 cdot infty$ 和 $frac{0}{0}$ 的处理。别急着凑，先观察。

比如 $lim_{x to 0} x sin frac{1}{x}$。

这是 $0 cdot infty$ 型，变形为 $frac{x}{1/sin(1/x)}$，分子分母分子分母同乘，要么用关键极限，结局是 0。 还有 $lim_{x to 0} x^{x^x}$，这是 $0^0$ 型，取对数，$ln x cdot ln x^x = ln x cdot x ln x = x (ln x)^2$，当 $x to 0$ 时，$ln x to -infty$，$x to 0$，乘积是 $0 cdot infty$ 型，洛必达得 0。 总结 高中数学的极限，归根结底就是那些公式。背熟了那几个关键公式，遇到不定式先判断类型，类型对了就用对东西。$0/0$ 用洛必达，$1^infty$ 取对数，$0^0$ 取对数，这些都要娴熟。 分段函数看左右极限，无穷小乘常数还是无穷小，无穷大乘无穷小得无穷大，无穷大除以无穷小得不定型。把这些条条框框记住，考试时遇到极限题，根本上能写对一半，剩下的看过程也行，要么用计算器。 别为了啥“起初”、“其次”而浪费工夫，数学是演算出来的，不是列出来的。公式背熟了，思路自然就通了。

这就行了，赶紧回去做题吧。