初中数学公式大全（400 条） 数学不是死记硬背的清单，它是逻辑的流淌。大量公式看起来冷冰冰的，实际上背后藏着生活里无数的故事。

比如勾股定理，在古代鲁班造车时就用得着，想象一下，脑洞大的孩子可能早就发明白三角板加斜尺，不用那套笨办法。

像积的乘法公式，小时候玩打毛衣时，要是是好打毛衣的，两个球套在一起，中间如何挤都不紧，数学上就记成单项式乘多项式，这逻辑好办到令人发指。 看代数式局部，别只盯着那一堆字母，要看看它们代表啥。单项式就是单独的一个数要么一个字母，像 5 或 $x^2$，比如买 3 个苹果和 2 个梨，总价就是 $3A + 2B$。单项式倍乘？就是 $3a cdot 4b$，结局等于 $12ab$，就像把两个不同颜色的积木拼在一起。单项式同底数幂？比如 $2a^3$ 和 $5a^3$，底数一样，系数相乘，指数不变，$7a^3$，这个好办搞混，得记住指数代表个数，系数负责大小。 多项式局部，平方的意义往往被忽略。$(a+b)^2$ 展开后是 $a^2 + 2ab + b^2$，这实际上就是长方形面积公式。正方形边长是 $a$，面积是 $a^2$；长 $a$ 宽 $b$ 的面积是 $ab$；再加上两个正方形拼起来，中间那个边长为 $a+b$ 的正方形不见了，正好填补了空隙，这就是彻底平方公式。立方公式同理，$(a+b)^3$ 展开后是 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。

这种几何直观，比死记硬背快多了。 分式是另一种常见的变体，像 $frac{a}{b}$ 要么 $frac{a}{a-b}$！

注意，分母不能为零，这就像不能除以零。分式的加减实际上和同分母分数一样，只是把分母藏起来。

比如 $frac{1}{2} - frac{1}{3}$，通分就是 $frac{3}{6} - frac{2}{6} = frac{1}{6}$。分子的合并也不难，比如 $frac{2a}{a+1} + frac{3a}{a-1}$，公分母是 $(a+1)(a-1)$，结局就是 $frac{3a^2 - 3a^2}{(a+1)(a-1)} = 0$，原来分子里的项抵消了。 二次函数是初中最核心的应用。$y = ax^2 + bx + c$ 这个万能公式，只要 $a neq 0$，抛物线就画出来了。顶点坐标是 $(-frac{b}{2a}, frac{4ac-b^2}{4a})$，这个公式大家多少人背过了？还有，当 $x = -frac{b}{2a}$ 时，函数取得最大值（或最小值），那这个最大值就是 $frac{4ac-b^2}{4a}$。二次函数的对称轴就是 $x = -frac{b}{2a}$。 一次函数就是直线。$y = kx + b$，$k$ 代表斜率，$b$ 是截距。斜率正，直线往右上走，负就往左下走。纵截距就是直线在 $y$ 轴上的交点，比如 $y = 2x + 1$，就是经过 $(0, 1)$ 和 $(0.5, 2)$ 的直线。一次函数图像上的点，随意画一个，比如 $(2, 5)$，只要知足 $y=2x+1$ 就行，代入算一下，$5 = 4+1$，对的。 反比例函数是 $y = frac{k}{x}$，$k neq 0$。它的图像就是双曲线，$k > 0$ 时一支在第二象限，一支在第一象限；$k 三、四象限。比例常数 $k$ 的绝对值越大，曲线离坐标轴越远，就像比较陡峭和平缓的斜坡。 对数函数是 $log_a x$，它是指数函数的反函数，就像解方程。

比如 $log_2 8 = 3$，出于 $2^3 = 8$。对数的真数务必大于零，底数务必大于零且不等于 1。 三角函数是初中和解方程的命门。$sin A, cos A, tan A$ 是关系 $a, b, c$ 的。$sin A = frac{a}{c}, cos A = frac{b}{c}, tan A = frac{a}{b}$，其中 $c$ 是斜边，$a$ 是对边，$b$ 是邻边。勾股定理 $sin^2 A + cos^2 A = 1$ 是核心。$tan A$ 能够看作是 $a$ 对 $b$ 的比例。 平方差公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 是化简的利器，时常出目前分式或根式运算里。彻底平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ 是展开的基础。 幂的运算包含同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方。同底数幂相乘，底数不变，指数相加，比如 $x^2 cdot x^3 = x^5$。幂的乘方，底数不变，指数相乘，比如 $(x^2)^3 = x^6$。积的乘方，等于各个因数分别乘方，比如 $(ab)^2 = a^2b^2$。 整式的加减实际上就是去括号、合并同类项。去括号要注意符号，特别是含有系数的，比如 $-3(x+2) = -3x - 6$。合并同类项就是把字母相同、指数也相同的项加起来，系数相加，字母和字母的指数不变。 因式分解是化简的高阶玩法。提公因式法，像 $6x + 9$ 能够变成 $3(x+3)$。公式法，就是针对彻底平方公式或平方差公式。分组分解法，把式子拆成两局部，每局部能分出来再分。 分式的加减法则和整式一样，先通分，然后像整式一样加减分子。约分是把分子分母与此同时除以公因式，比如 $frac{4x}{8} = frac{x}{2}$。分式乘除，分式乘分式相当于先约分再乘，要么分子乘分子分母乘分母。 根式是分数在代数里的样子，$sqrt{x}$ 要么 $sqrt[3]{x}$。最简二次根式要求被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，比如 $sqrt{12}$ 要化简成 $2sqrt{3}$。同类二次根式，化成最简后，被开方数一样的，才能合并，比如 $sqrt{2}$ 和 $3sqrt{2}$ 能够合并成 $4sqrt{2}$。 二次根式的运算和整式一样，加减还是去括号合并，乘除还是约分。分母有理化是把分母变成整数，方式是根式乘根式，比如 $frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。二次根式开方，某个数的平方根就是它本身，正数有两个平方根，互为反之数。 一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，$a neq 0$，求根公式是 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

这个公式里的 $Delta = b^2 - 4ac$ 叫做判别式。$Delta > 0$ 时有两个不相等的实数根；$Delta = 0$ 时有一个重根；$Delta

比如 $x^3 - x^2 - x + 1 = 0$，能够通过分组分解变成 $(x^3 - x^2) - (x - 1) = 0$，进而 $(x^2(x-1)) - 1(x-1) = 0$，提公因式 $(x-1)(x^2-1) = 0$，最终分解出 $(x-1)^2(x+1) = 0$，解得 $x=1, 1, -1$。 二次函数的性质，比如 $y = ax^2 + bx + c$ 的开口方向由 $a$ 拍板，$a > 0$ 开口向上，$a

这种关系实际上能够写成 $y = a(x-x_1)(x-x_2)$。 二次函数与相似图形的关系。两个相似三角形，它们的面积比等于相似比的平方。坐标轴截距式直线 $x/m + y/n = 1$ 就是截距式。 数列中的通项公式，就是 $a_n = ?$ 那个难题，比如等差数列 $a_n = a_1 + (n-1)d$，等比数列 $a_n = a_1 q^{n-1}$。 整式的乘方，$(a+b)^n$ 的展开，能够用多项式定理，比如 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。 分式的因式分解，就是把它写成 $A/B$ 这种形式，与此同时分子分母都要分解成最简二次因子的乘积。 对数方程，比如 $log_a x = b$，要还原成指数形式 $x = a^b$。 三角恒等变换，比如 $sin 2A = 2 sin A cos A$，$cos 2A = cos^2 A - sin^2 A$ 这种公式。 幂的运算性质，比如 $(x^m)^n = x^{mn}$，$(x^m)^n = x^{mn}$，$(a^m)^n = a^{mn}$，$(xy)^n = x^n y^n$。 根式性质，比如 $sqrt[n]{a^n} = a$，$(sqrt[n]{a})^n = a$。 二次根式的性质，比如 $sqrt{x^2} = |x|$，$sqrt{ab} = sqrt{a}sqrt{b}$。 一元二次方程判别式，$Delta = b^2 - 4ac$，$Delta > 0$ 两个根，$Delta = 0$ 一个根，$Delta 0$ 时 $x = -frac{b}{2a}$ 是极小值点，$a 0$ 开口向上，$a 0$ 时 $x = -frac{b}{2a}$ 是极小值点，$a 0$ 开口向上，$a 0$ 开口向上，$a