高中数学公式定律随身记-高中公式定律随身记

观察结构：$sin A cos B + cos A sin B$，这正是正弦加法定理的逆用！

无需查表或计算器，一步得解！

将 $y = sin x$ 变为 $y = sin(2x + frac{pi}{3})$：

• ✅ 正确：① 左移 $frac{pi}{3}$ → $y = sin(x + frac{pi}{3})$；② 横向压缩为 $frac{1}{2}$ → $y = sin(2x + frac{pi}{3})$
• ❌ 错误：先压缩再平移：$y = sin(2x) to y = sin(2(x + frac{pi}{3})) = sin(2x + frac{2pi}{3})$（错！）

原式 $= 2^{lg 5} cdot 2^{lg 5} = (2^{lg 5})^2$？
❌ 错！正确解法：

更优解：设原式为 $A$，则

无法进一步简化，但注意：
当 $a = b$ 时，$a^{lg a} = a^{lg a}$ 恒成立；当 $a ne b$，结果无简单整数形式。

正确结论：$2^{lg 5} cdot 5^{lg 2} = 10^{lg 2 cdot lg 5} cdot 10^{lg 2 cdot lg 5} = 10^{2 lg 2 cdot lg 5}$，但更实用的是数值估算：$lg 2 approx 0.3010$，$lg 5 approx 0.6990$，故原式 $approx 2^{0.6990} cdot 5^{0.3010} approx 1.624 cdot 1.624 approx 2.638$。

计算行列式：

✅ 平行！且 $vec{b} = -2vec{a}$，方向相反，模长为2倍。

$a = 5$, $b = 4$, $c = sqrt{25 - 16} = 3$
$e = frac{c}{a} = frac{3}{5}$，通径 $= frac{2b^2}{a} = frac{32}{5}$，故 $p = frac{16}{5}$

联立得：$x^2 - (kx+1)^2 = 1 Rightarrow (1 - k^2)x^2 - 2kx - 2 = 0$

• 当 $k^2 = 1$ 时，方程退化为一次方程：$-2x - 2 = 0 Rightarrow x = -1$，1个交点（平行渐近线）
• 当 $k^2 ne 1$ 时，判别式 $Delta = 4k^2 + 8(1 - k^2) = 8 - 4k^2$
• $Delta > 0 Rightarrow k^2 < 2$：2个交点
• $Delta = 0 Rightarrow k^2 = 2$：1个交点（相切）
• $Delta < 0 Rightarrow k^2 > 2$：0个交点

结论：1个交点时，$k = pm1$ 或 $k = pmsqrt{2}$，共4种情况！

求导：$f'(x) = ln x + x cdot frac{1}{x} = ln x + 1$

斜率：$k = f'(1) = ln 1 + 1 = 1$

点：$f(1) = 1 cdot ln 1 = 0$，即切点 $(1, 0)$

方程：$y - 0 = 1 cdot (x - 1) Rightarrow y = x - 1$