方差和标准差实际上就是把数据老毛头和标准差搅在一起了，别管啥数学符号，咱就直白点说。 求方差那个公式，说白了就是数大伙儿离中位数要么平均值有多远。假设你有一组数字：[1, 2, 3, 4, 5]。先把它们加起来除以 5，拿到平均值叫均值，也就是 3。接下来就是关键一步了，别嫌费事，直接算每个数字跟 3 的差，然后平方。1 离 3 差 2 平方是 4，2 离 3 差 1 平方是 1，3 离 3 是 0，4 离 3 差 1 平方是 1，5 离 3 差 2 平方是 4。把这些加起来 4+1+0+1+4 等于 10，还得除以 5，结局就是 2。

这就是方差，它告诉你这些数字普遍离中心点有两个单位如此远。 标准差呢，逻辑就好办多了，反正方差是个平方数，没法直接比较大小，得开根号。刚刚算出来的方差是 2，开根号那就是 1.414。

这意味着这组数据的波动实际上是 1.414 左右。

要是你看一组数据 [1, 3, 5, 7, 9]，均值也是 5，方差算出来是 4，标准差就是 2。

这就好比你俩人的身高，一个是 160 厘米，一个是 170 厘米，高度差是 10 厘米（也就是标准差 5），但你俩的体重波动可能一样大。 说到协方差，这玩意儿跟标准差有点不一样，出于它俩行不通，出于方差是平方的，标准差是开根号，两个不一样的东西没法直接乘，那得先统一单位。

那得去乘原始数据对。假设你叫张三，李四，你们俩的身高分别是 [175, 170]，体重分别是 [65, 70]。先算张三和李四的身高和体重的乘积：175 乘以 65 等于 11375，然后再算 170 乘以 70 等于 11900。把这些加起来是 23275。再算一遍身高和，175 加 170 是 345，体重和是 135。最终把那个乘积除以 345，拿到约 67.35。

这个数值叫协方差，具体来说，正数代表两人长得高、体重就差不多大，数据往一起走；负数代表是个怪胎，一个高体重就低，数据往反着走。 举个例子，假设你有一本厚厚的书，你翻了几页，又翻了几页，中间还翻了好多页，最终又翻了回来。

要是你只记下了“翻了几页”，那就是方差。出于你翻多了好多页，翻少了也没几页，反正都是翻了几页，平均下来你认定差不多。

可是你要是翻的是具体的页数，那就是标准差。翻 5 页比翻 4 页，翻 3 页，翻 6 页，这个波动比翻几页更真，更能反映真情况。 有时候我们会纠结方差和标准差到底哪个好。方差是个平方数，有时候能超过 1 就连更大，比如有的数据波动极大，方差能达到 100。

这时候要是数据波动是个 100，一个 10，哪个大？方差大，但标准差才 10。

故此有时候我们挺厌恶方差的单位，出于有时候方差能挺大，有时候挺小，没法直接比较。

这时候标准差就派上用场了，只要你单位一致，如何算，标准差大就是波动大。 再聊聊协方差。协方差实际上是个关系难题。

要是两个数据都往右跑，那就是协方差是正数，说明它们俩在一起时数值都变大。

要是都往左跑，那就是负数。

要是方向反之，那就是负数。

举个例子，你买彩票，中奖了挺快乐，输了挺委屈。

这时候你的情绪波动挺大。

要是另一个哥们儿也买彩票，你中奖他就高兴，你输了他也不悲伤，那他们的协方差就是正数。

要是那个哥们儿你中奖了高兴，输了就狂，那你俩的协方差就是负数，出于一场好一场坏。 数据这东西有时候挺累的，有时候让你认定这组数据波动挺大，有时候又认定差不多。方差和标准差就是咱俩的度量衡。方差看的是离中位数要么平均值有多远，次数多了。标准差看的是数据均匀程度。协方差看的是两个数据之间是正相关还是负相关。 有时候你会认定方差是个平方数，没法直接比较，实际上不用纠结。

要是是同一个样本，数据波动差不多的样本，方差大就是波动大。但要是数据波动是 100，有时候是 1，标准差 10，10 就是波动大。 总结一下，方差是数据离散程度的直接度量，标准差是它开根号后的线性度量，协方差是两组数据之间关系的度量。算出来，标准差和协方差在对比的时候要注意单位，方差有时候大得吓人，可是标准差更能直观告诉我们话说是不是实话。

反正要么说，要么不说，反正数据就如此回事。