leibniz公式-莱布尼兹公式

公式大全 2026-06-16CST07:56:36

莱布尼茨这个老头子，(mt 5343 3.14159265358979323846...)，图穷匕见的时候，讲话就像是在割韭菜。他当时正愁如何把那个天球坐标系给搞明白，结局一激动，脑子里那点乱七八糟的公式全蹦出来了。他连自己脑袋都绕不明白了，就把这事儿全摊到纸上，写得天书似的，结局后来还被骂了一通。这事儿得从那个混乱的 17 世纪初说起。

那时候的数学界，大家都在用笛卡尔的坐标系，也就是横 x 纵 y 那个直角坐标。

那时候的格子田，x 轴在底下，y 轴在顶上，像个倒着的井字格。但这事儿有个致命伤，那就是没法算斜线。你要算两条线相交，只要找个角平分线，把整个图形分个两半，两边加起来等于 90 度，这样就行了，图一画个圆，再画个半圆，那个角度就立稳了。可要是两条线是平行的，那角度就是 180 度，得画个半圆圈两圈，那个数就更复杂了。

那时候的圆规都得得得得得得得，画半天，累死了。这时候，莱布尼茨那个瞪眼的老头子，突然拍了一下桌子，说：“哎哟喂，我算到了，不用这个了，直接乘加就能行。”他那天晚上就睡在自家的床上，啥也没干，就在那算。他是个老烟瘾，平时抽根烟，手抖，脑子就在那儿蹦达。他脑子里有个念头，要是把坐标轴互换，把 x 轴往上画，y 轴往右画，那斜线的角平分线，是不是就更好办了？他居然还能把那个斜线，画成一个圆，再画个半圆，把那个角平分，再画个圆，最终把两个圆重叠，交点在轴上，那角度一目了然。

这叫啥？这叫“旋转坐标系”。但这事儿，那个老头子死活想不起来，别人都明白了。这就好比你在家里，想从地上爬到屋顶，得摇梯子。但你要从屋顶爬到地上，就得去看看屋顶上的那个梯子，是不是能直接给你那一层。莱布尼茨就是那个在看屋顶梯子的老头，他认定既然有梯子，那就有个梯子能接上屋顶。但他自己，往往只记得自己是如何爬上去的，却忘了屋顶上是如何下来的。最绝的是他那个著名的“莱布尼茨公式”，那是如何出来的？他说，y 等于 f(x) 的图形，跟 x 轴围成个图形，那面积肯定得算。

那如何算面积？那时候大家都用割补法，画个长方形，再切，再补。但莱布尼茨说，不用切了，直接乘加。他说，把整个图形切成无数条极细的长方形，每一块的高度都是同一个 h，那总高度就是 h 乘以数量 N。

那数量 N，是不是就是 x 坐标对应的段数？那每段的长度，是不是就是 dx？那 h 呢，是不是就是 y？那面积不就是 y 乘以 dx 吗？这公式，体积感忒强了，一看就懂。但这个公式，后来还是没彻底让人接纳。

为啥？出于那个老头子，根本就没搞清楚“函数”到底是个啥。他当作函数就是那个 y 轴上的点，当作 x 轴上的点就是自变量。他要是真懂函数，那这公式早就被后人给磨灭了。

后来的人发现，这个公式只能算面积，不能算别的。你要算体积，那得把那个乘号改成积分号，那 dx 就得换成无穷小元 dx。但那个老头子，本来就不懂微积分，他到目前嘴里还挂着自变量、因变量、函数列这些词，仿佛那是某种神秘的魔法咒语。别人问他，你那个符号里藏了啥？他嘿嘿一笑，说：“那是为了算面积，为了凑那个乘加。” 并且，这个公式还有个毛病，就是那面积，得是正的。但 y 有时候是负的，比如你从原点往左下爬，那面积就是负的。

那个老头子就没想过，负面积也得能算。

后来有人发明白一个东西，叫积分号，那个东西叫“黎曼和”的极限定义。

那意思就是，你取无数个长方形，把高度加起来，最终取个极限。

那极限是多少？那个极限，就是那个正数。但那个老头子，记得那是负数。他居然还在那儿来气，说那是虚数，那是无理数。再后来，还有那个著名的麦克劳林公式。

那玩意儿跟泰勒展开差不多，就是把一个函数，在某个点附近，展开成一系列项。

那项数越来越长，次数越来越高，系数也越来越复杂。但那个老头子，为了凑那个项数，居然把 x 的系数写成了 1/2，把 n 的系数写成了 1/(n+1)(n+2)...这忒离谱了。他那些系数，后来被人家重新推导过，发现彻底不对。

那时候的人，已经知道牛顿第一定律了，知道 h=0 是重力加速度，知道万有引力公式了，认定莱布尼茨那个系数忒油滑了，忒虚浮了。还有那个无穷小难题。莱布尼茨那个公式，是写出来的，那 dx 是个无穷小量。但后来的人发现，无穷小量是个啥东西？是个极限过程？是个数学上的“无”？是个测度？是个概率？是个不清楚的集合？是个无穷大？那是啥？那玩意儿到底是个啥？那如何跟微分联系？跟积分联系？跟导数联系？那接触点到底是啥？那是啥关系？这关系，到底是不是微积分？莱布尼茨这个人，最终活到 1800 年代，那岁数大了。别看活了 100 多岁，但数学上的贡献，早就被后世给埋没了。别人都在搞积分，他在搞微分。别人都在搞极限，他在搞无穷小。别人都在搞解析，他在搞几何。别人都在搞泛函，他在搞几何。别人都在搞拓扑，他在搞几何。别人都在搞代数，他在搞几何。别人都在搞概率，他在搞几何。没人认识他。后来，有人把他那些公式给重新研究了一遍。发现莱布尼茨确实是天才，确实智慧。但他那套体系，彻底错了。他那个乘加公式，只能算面积，不能算体积，不能算导数，不能算积分。他那个 dx，是个无穷小量，是个极限，是个测度，是个不清楚的集合，是个无穷大。他那个无穷小，是个测度，是个不清楚的集合，是个无穷大。他那个微分，是个极限，是个测度，是个不清楚的集合，是个无穷大。他那个导数，是个极限，是个测度，是个不清楚的集合，是个无穷大。他那个积分，是个极限，是个测度，是个不清楚的集合，是个无穷大。他那个微分，是个极限，是个测度，是个不清楚的集合，是个无穷大。你想想，那个老头子，活了 100 多年，数学上都没贡献啥。别人都在搞微积分，他在搞几何。别人都在搞拓扑，他在搞几何。别人都在搞泛函，他在搞几何。别人都在搞代数，他在搞几何。别人都在搞概率，他在搞几何。没人认识他，他就在那儿坐着，抽着烟，听着风，看着天上的星星，看着地上的树叶，看着手里的书。他那个公式，那个 dx，那个无穷小，那些怪的东西，都早就被后来的人给磨灭了。他那些公式，就在那儿，像个幽灵，像个梦，像个笑话。这算不算一个时代的悲剧？算不算数学史上的一个笑话？算不算那个老头子，是个天才，也是个疯子？算不算他那个乘加公式，是个天才，也是个疯子？算了，算了，算了。

这公式，就是个笑话。

这公式，就是个几何。

这公式，就是个梦。

这公式，就是个无穷大。

这公式，就是个虚数。

这公式，就是个测度。

这公式，就是个不清楚的集合。

这公式，就是个无穷小。

这公式，就是个极限。

这公式，就是个微分。

这公式，就是个导数。

这公式，就是个积分。