分块矩阵求逆公式ppt-分块矩阵求逆公式课件

公式大全 2026-06-15CST22:25:43

分块矩阵求逆：像拆解乐高一样把大块拆开来想别总想着把一张白纸从头到尾填满了公式，分块矩阵求逆这事儿，更像是拆开一个复杂的乐高模型，一个个积木块拆下来、分析如何组合，最终再拼回去。咱们不指望一口气把整个数学大厦推倒重来，而是用“有限差分法”的思路，把大矩阵切碎了，一块一块算清楚，再拼回去。先把目光聚焦在最前面的一小块 $A_{11}$。

要是这玩意儿是个对角矩阵，那就好办了，它对角线上的是几，那它自己自然也是对角矩阵（要么单位矩阵）。但现实往往没那么完美，$A_{11}$ 可能只是个 $2times2$ 要么更大、更乱点的玩意儿。

这时候，别急着让它自己求逆，也别急着去挡后面的路，先试着把它的逆算出来吧。求出来之后，别忘了把结局记下来，叫 $mathbf{X}_{11}$。

这个 $mathbf{X}_{11}$ 实际上是个“局部逆”，它回应了 $A_{11}$ 对后文的影响。

这时候，我们回头看剩下的那块 $A_{22}$。目前的状态是，$A_{22}$ 前面挡着一堵墙，墙上站着 $mathbf{X}_{11}$ 的影子。

这时候，$A_{22}$ 不再是孤军作战，它务必和墙上的影子互动。这就引出了新的公式：$A_{22}^{-1} text{ (原矩阵的逆)} = mathbf{X}_{11}^{-1} mathbf{X}_{12} A_{22}^{-1}$。

你看，这里面的逻辑实际上挺微妙。$mathbf{X}_{11}^{-1}$ 是墙上的那个影子，它把 $A_{12}$ 的影子给“踩”在了 $A_{21}$ 的脚下。记一行一个，别搞混了。这时候，$A_{22}$ 就换了一种身份：它目前是“挂墙块”，它的逆算出来，直接就能用它去“踩” $A_{11}$ 的逆。 $A_{11}$ 的逆记为 $mathbf{Y}_{11}$。目前，我们要算的是 $A_{11}$ 乘以那个“挂墙块”的逆。

这时候，别忘了记上一块 $mathbf{X}_{11}$，它是 $A_{11}$ 对面那个“压下来”的力。这就构成了下一环：$A_{11}^{-1} text{ (原矩阵的逆)} = mathbf{Y}_{12} A_{22}^{-1} + mathbf{X}_{11}^{-1}$。目前，$A_{22}$ 又换了一种身份：它目前是“压墙块”，它的逆算出来，直接就能用它去“踩” $A_{11}$ 的逆。 $A_{11}$ 的逆记为 $mathbf{Y}_{11}$。目前，我们要算的是 $A_{22}$ 乘以那个“压墙块”的逆。这时候，$A_{11}$ 的逆是 $mathbf{Y}_{11}$。 $A_{11}$ 的逆记为 $mathbf{Y}_{11}$。这就构成了最终一环：$A_{22}^{-1} text{ (原矩阵的逆)} = mathbf{Y}_{11} A_{12}^{-1} + mathbf{X}_{12}^{-1}$。目前，$A_{11}$ 又换了一种身份：它目前是“压下块”，它的逆算出来，直接就能用它去“踩” $A_{22}$ 的逆。 $A_{22}$ 的逆记为 $mathbf{Z}_{12}$。 $A_{22}$ 的逆记为 $mathbf{Z}_{12}$。这就构成了最终的收尾：$A_{11}^{-1} text{ (原矩阵的逆)} = mathbf{Z}_{11} A_{22}^{-1} + mathbf{X}_{21}^{-1}$。目前，$A_{11}$ 的逆是 $mathbf{Z}_{11}$。 $A_{11}$ 的逆记为 $mathbf{Z}_{11}$。这就构成了最终的闭环：$A_{22}^{-1} text{ (原矩阵的逆)} = mathbf{Z}_{11} A_{12}^{-1} + mathbf{X}_{22}^{-1}$。目前，$A_{22}$ 的逆是 $mathbf{Z}_{11}$。 $A_{22}$ 的逆记为 $mathbf{Z}_{11}$。这就构成了最终的回扣：$A_{11}^{-1} text{ (原矩阵的逆)} = mathbf{Z}_{12} A_{22}^{-1} + mathbf{X}_{12}^{-1}$。目前，$A_{11}$ 的逆是 $mathbf{Z}_{12}$。 $A_{11}$ 的逆记为 $mathbf{Z}_{12}$。就如此一圈搞定。为了说清楚这个“踩”的过程，咱们得拿个数字算笔账。假设左边那一坨是个 $2times2$ 的对角矩阵，右边那坨也是个 $2times2$ 的对角矩阵。它们中间夹着一些乱七八糟的。我们先把左边那个 $2times2$ 的对角块搞定了。它自己逆过来还是它自己。

这步直接点，不做绕弯子了。接着处理右边那个 $2times2$ 的对角块。

这步同理，直接点，它自己逆过来还是它自己。目前，左边那个块和右边那个块启动互动了。左边块的逆是 $mathbf{I}_{L}$。右边块的逆是 $mathbf{I}_{R}$。这时候，左边块的逆直接加到右边块的结局里：$mathbf{I}_{L} + mathbf{I}_{R}$。再处理另一个块。左边块的逆是 $mathbf{I}_{L}$。右边块的逆是 $mathbf{I}_{R}$。这时候，左边块的逆直接加到右边块的结局里：$mathbf{I}_{L} + mathbf{I}_{R}$。最终是最终一个块。左边块的逆是 $mathbf{I}_{L}$。右边块的逆是 $mathbf{I}_{R}$。这时候，左边块的逆直接加到右边块的结局里：$mathbf{I}_{L} + mathbf{I}_{R}$。这就搞定了所有“踩”的动作。再换一种思路，咱们用矩阵乘法来验证一下。假设中间那个分块是 $2times2$ 的，上下是 $1times1$ 的。让我们先算左下角那个 $1times1$ 的块。它自己就是 $1$。

这步直接点。接着算右上角那个 $1times1$ 的块。它自己就是 $1$。

这步直接点。目前，左下角的块和右上角的块启动互动了。左下角的逆是 $1$。右上角的逆是 $1$。左下角的逆直接加上右上角的结局：$1 + 1$。再算右下角那个 $1times1$ 的块。左下角的逆是 $1$。右上角的逆是 $1$。这时候，左下角的逆直接加上右上角的结局：$1 + 1$。最终算左上角那个 $1times1$ 的块。左下角的逆是 $1$。右上角的逆是 $1$。这时候，左下角的逆直接加上右上角的结局：$1 + 1$。这就搞定了所有“踩”的动作。实际上，这个方式的精髓不在于记住了多少块，而在于理解“局部逆”是如何和“全局逆”进行交互的。就像我们在生活里遇到的那种情况，有时候一个拍板会影响另一个拍板，有时候一个动作会引发连锁反应。分块矩阵求逆，实际上就是把这种复杂的因果链条，拆解成一个个好办的局部互动的过程。别被那些复杂的符号吓倒。

只要记住，每个小块的逆，都是它自己，要么它加上了它周围某个块的逆。

只要把这些关系理顺，哪怕矩阵再大，也能像拼图一样，一块一块顺下来。