1 元 2 次方程求根公式，实际上人早就会背了，平时做题没少背，就是间或想不起来具体如何写，要么想一下出来如何算，公式自然就出来了。别把它当成啥天大的难题，就是好办的数学运算，只要把那些乱七八糟的式子一化简，凑成平方差公式，量一量各项的系数，就能看出来它到底是哪种类型。 大量人一见到二次方程就头疼，认定是代数这门硬骨头吃尽了苦头，实际上不然，只要掌握了那些根本的转换技巧，随意一算就能搞定。

比如你给老师讲的时候，他可能也会说：这个方程系数都是整数，没难题，直接套用公式就行。但在具体的推导过程中，步骤可就不好办了，你得把方程两边与此同时除以一次项的系数，把一次项系数变成 1，然后把常数项移到等号右边。

这时候，方程就变成了一个标准的 $x^2 + px + q = 0$ 的形式。接下来就是最关键的一步，通过配方式，把左边的 $x^2$ 和常数项拼起来，构造出 $(x + frac{p}{2})^2$ 的形式。

这时候，你就要特别小心，别把那个平方项的系数搞错了，出于它的系数是 $1$，故此要平方的时候系数后面再添 $2$ 和 $2$ 各一次。 这时候，方程右边的那局部常数项，实际上就是 $pm sqrt{b^2 - 4ac}$ 这个值，要是是判别式大于 $0$，根都在实数轴上；要是小于 $0$ 那就是虚数了，这种情况别看少见，但心里要有数。

既然你已经知道了根，那求系数 $a, b, c$ 的时候，就得倒推回去。

比如你看到 $x^2 - 6x + 9 = 0$，一眼就能看出这是彻底平方式，直接开方就能解出 $x=3$。再比如 $x^2 + 2sqrt{3}x + 3 = 0$，配方过程略微费事点，中间那个系数是 $2sqrt{3}$，两边除以 $2$ 变成 $sqrt{3}$，平方的话就是 $2timessqrt{3}$，再配成 $(x + sqrt{3})^2$，这样右边就是 $9$，故此根是 $-sqrt{3} pm sqrt{2 times sqrt{3}}$。

这些例子实际上挺多的，课本里都会让你做一做，就是看看能不能自己看出来就行，不用死记硬背。 要解 $1$ 元 $2$ 次方程，实际上就三步：化简、配方、开方。

第一步化简，就是把方程两边同乘，要么同除以一次项系数，保证一次项系数为 $1$。

这一步实际上挺关键的，系数是 $1$ 的话，后面取根的时候就不用开二次根号了，直接提括号就行。

要是系数不是 $1$，比如 $x^2 + 4x + 4 = 0$，那么除以 $1$ 就没了，除以 $4$ 之后，一次项变成 $4$，常数项变成 $1$。

这时候，配方就需求技巧了，出于一次项系数是 $4$，中间那个数是 $8$ 吗？不对，是 $2 times 4 = 8$。常数项是 $1$，故此右边变成 $1 - 8 = -7$。

这时候就得看判别式了，$64 - 4 times 1 times (-7)$ 是正数，故此根是实数。

要是右边是负数，比如 $x^2 + 2x - 3 = 0$，除以 $1$ 后一次项是 $2$，常数项是 $-3$，配方时右边就是 $4 - 4 times (-3) = 16$，根就是 $-1 pm 4$。 说到配方，这确实是解决 $1$ 元二次方程最核心也是最好办出错的地方。大量学生一看到配方，就只会机械地写 $(x-a)^2 = b$，结局错了。

实际上配方的本质就是利用彻底平方公式，把 $x^2$ 和常数项凑成 $(x+a)^2$。

这时候要注意，$a$ 的值彻底由一次项系数的一半拍板。

比如一次项是 $2$，那 $a$ 就是 $1$；一次项是 $3$，那 $a$ 就是 $1.5$。

要是一次项系数是负数，比如 $-4$，那 $a$ 就是 $-2$。

不管系数是正还是负，只要记住了“一半一半”这个口诀，就不会错了。至于右边那个数，就是 $b^2 - 4ac$ 的值。

要是这个数大于 $0$，你就用正号；小于 $0$ 就用负号。

要是是等于 $0$，那两个根就一样，就是重根。 举个例子，解方程 $x^2 - 8x + 16 = 0$。

这个方程一眼就能看出是彻底平方式，$(x-4)^2 = 0$，故此 $x=4$。再比如 $x^2 - 5x = 0$，取公因式是 $x(x-5) = 0$，故此根是 $0$ 和 $5$。

还有一种情况，比如 $x^2 + 6x + 2 = 0$，配方后拿到 $(x+3)^2 = 7$，故此根是 $-3 pm sqrt{7}$。

这些例子都挺好办，只要步骤对，数据对，就能算出来。

有时候你会认定忒好办了，根本不会用公式，认定用公式会累得慌，实际上不然，公式就是用来帮你化繁为简的。

不用管中间有多少步，只要结局对了就行。 在解题的实际操作中，大量时候我们并不需求写出每一步的细节，特别是最终开根号的时候。

要是判别式是个整数，根号里面就是个整数，那根号就不用展开了，直接写出来就行。

比如根号里面是 $9$，那就写成 $3$；要是是 $16$，就是 $4$。但要是根号里面是个无理数，比如 $3$ 要么 $2-sqrt{3}$，这时候就要把根号拆开了。拆根的时候，要注意符号，根号外的负号要带到根号里面去。

比如 $sqrt{-4}$ 就是 $2i$，$sqrt{-2}$ 就是 $sqrt{2}i$。

这些细节别看琐碎，但一旦搞错，整个解法就没法走了。

故此，平时多练练手感，多看看各种题型，就能把那些看不见的逻辑给补上。 实际上， $1$ 元 $2$ 次方程的解法，核心就在那两个数字：一次项系数的一半，和判别式。

只要这两个数你算对了，剩下的就好办了。大量时候，题目给的形式别看复杂，但经过化简要么配方后，能一眼看出它是彻底平方式，这时候就不要去心算那个数了，直接套用公式即可。

比如看到 $x^2 + 2sqrt{3}x + 3$，你就知道 $a=1, b=2sqrt{3}, c=3$，然后直接写出 $(x+sqrt{3})^2$ 的右边是 $3 - 4 times 1 times 3 = 3$? 不对，重新算一下，$3^2 - 4 times 1 times 3 = 9 - 12 = -3$，故此右边是 $-3$，开方就是 $pm sqrt{3}$，故此根是 $-sqrt{3} pm sqrt{3}$。

什么的，我仿佛算错了，$b$ 是 $2sqrt{3}$，一半是 $sqrt{3}$，平方是 $3$，故此 $(x+sqrt{3})^2 = x^2 + 2sqrt{3}x + 3$，常数项是 $3$，故此 $c=3$。判别式 $b^2 - 4ac = (2sqrt{3})^2 - 4 times 3 = 12 - 12 = 0$，故此根是 $-sqrt{3}$。

没错，就是这个。 这种题目在考试中并不少见，特别是那种系数看起来特别复杂，让人一看就懵的情况。

这时候，只要不慌，按照部就班地来，先化简，再配方，最终开方，就能迎刃而解。千万不要出于认定费事而拉倒，有时候最难的也就是这个化简和配方，后面的计算量实际上不大。把书读薄，把公式背熟，把例题多做几道，就能真正掌握这门内容的精髓。别总想着有啥高深的数学理论赞成，实际上就是好办的代数运算，只要心细，步步为营，就能把答案算出来。