高数积分公式大全 别整那些教科书式的开场白，直接上干货，咱们把积分公式这一大坨玩意儿拆开揉碎了讲。别总想着按部就班地推导，积分本质上是面积和，跟如何推导关系不大。 关于不定积分，看到 $x^n$ 这种幂函数，心里要有个底。

要是是 $x > 0$，那就是 $frac{1}{n+1}x^{n+1}$，分母搞错了指数就废了。

要是 $n$ 是负数，那就得补个 $1$ 进去变成 $(n+1)$ 的指数，要么直接记成 $frac{x^{-n}}{-n}$。再比如自然对数，$int frac{1}{e^x} dx = int e^{-x} dx$，这个反了指数变底数就得抓回来，结局都是 $-e^{-x}$。乘积法则那个 $int ab dx = int a dx + int b dx$ 是错的，那是微分的线性性，积分是线性的，$int [a(x)b(x)] dx neq int a dx + int b dx$，要不就 $f$ 和 $g$ 互相关。分部积分法 $uv - wv + dots$ 有点啰嗦，核心就是用倒代换，$int x e^{ax} dx$，设 $u=x, dv=e^{ax}dx$，最终凑出 $frac{1}{a}x e^{ax} + int frac{1}{a} e^{ax} dx$，重复积分消掉直到变成原函数。三角函数积分别死记硬背公式，脑子里得有个图。$int sin x dx = -cos x$，$int cos x dx = sin x$，但 $int sin^2 x dx$ 和 $int cos^2 x dx$ 不一样，$sin^2 x$ 化出来是 $frac{1-cos 2x}{2}$，积分就是 $-sin x + frac{1}{2}x$。高斯积分 $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx = sqrt{pi}$ 这个特例别看难记，但它是黄金分割，大量推导都绕不开它。 定积分的概念比不定积分好办多了，就是面积加减。$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，$F$ 是不定积分，名字听着复杂实际上就是原函数。区间长度 $b-a$ 要是负的，结局就变号了，方向反了。根本积分公式手里得攥着：$int x^n dx$ 对应 $frac{x^{n+1}}{n+1}$，$int a^x dx = frac{a^x}{ln a}$ 这个 $a$ 得大于 $0$ 才行，底数为负要么零就废了。

还有 $e^x$ 的积分就是 $e^x$ 自己，$x$ 积分是 $frac{x^2}{2}$，$ln x$ 积分是 $x$ 挺好办。$ln x$ 的导数就是 $frac{1}{x}$，逆运算就是积分；$e^x$ 导数是 $e^x$，逆运算是积分，这俩是一对双胞胎。 换元积分那些，变形是灵魂。替换 $u$ 之后，别忘了 $dx$ 换成 $du$，系数要是 $-frac{1}{a}$，这是常数乘积法则，搞反了全崩。三角换元最要命，$int sin(ax) dx$ 设 $u=sin ax$，$du = a cos ax dx$，故此 $dx = frac{du}{a cos ax}$，代回去就得除以 $cos ax$，这步时常卡壳。万能公式 $int sqrt{1-x^2} dx$ 对应 $frac{x}{2}sqrt{1-x^2} + frac{1}{2}arcsin x$，记得 $1-x^2$ 里面要是 $e^x$ 就得用 $e^x$，若 $1-x^2$ 是 $tan^2 x$ 就得用 $tan x$。积分根本定理里，$F(x)$ 是原函数，$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，要是区间写成 $[a, b]$，结局就是 $F(b) - F(a)$，要是 $[b, a]$ 就取反了。 反常积分遇到无穷大，得慢慢凑。$int_0^{infty} frac{1}{1+x^4} dx$ 这种无理函数，标准公式不中，得拆成局部分式，把无限区间拆成 $0$ 到 $1$ 和 $1$ 到 $+infty$ 两段分别算。$int_{-infty}^{infty} frac{1}{x^2+1} dx$ 结局就是 $pi$，这是经典，但 $int_{-infty}^{0} frac{1}{x^2+1} dx$ 是 $-pi$，得注意方向。$int_0^{+infty} e^{-x^p} dx$ 这种 p 型积分，当 $p$ 大于 $1$ 的时候收敛，当 $p$ 小于 $1$ 发散，$int_{-infty}^{infty} e^{-|x|^p} dx = sqrt{frac{pi}{Gamma(p/2)}}$ 这个公式看着吓人实际上好办，核心是伽玛函数，具体数值得查表要么算出来。 坐标变换那些，线性变换最 forgiving。$int_{D'} f(x,y) dx dy = int_{D} f(phi(x,y)) J(x,y) dx dy$，$J$ 是雅可比行列式，行列式列出来是 $frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}$，要是行列式是负的，积分方向反了，得整体加个负号。换坐标 $x = phi(u,v), y = psi(u,v)$，积分区域要从矩形变成椭圆，把椭圆坐标算出来代进去就行。 极限里 $int_0^1 frac{1}{sqrt[3]{1-x^2}} dx$ 这种根号瑕点，得用 $lim_{a to 0^+} int_a^1 dots$。$int_0^{+infty} frac{1}{sqrt{1+x^2}} dx$ 是 $[ln(x + sqrt{1+x^2})]_0^{+infty}$，得用对数极限 $1^2+sqrt{2}$ 和 $e^{ln(tan pi/4)}$ 来算。

还有 $int_0^{infty} frac{1}{1+x^p} dx$ 当 $p>1$ 时收敛，$int_0^{+infty} frac{1}{1+x^p} x^{p-1} dx = frac{pi}{p sin(pi/p)}$ 这个形式，那是彻底积分公式的一局部。 无穷级数收敛性，$sum a_n$ 得看 $lim a_n = 0$ 且绝对收敛才行。$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6}$ 这是著名结局，用来证明黎曼猜想呢。$sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^k}$ 当 $k=1$ 发散，$k=2$ 收敛，$k>2$ 收敛，$1 le k le 2$ 收敛条件比较怪。偶数项级数 $sum frac{1}{n^2}$ 和奇数项 $sum frac{1}{(2n-1)^2}$ 加起来就是 $frac{pi^2}{4}$，这俩加起来正好是 $sum frac{1}{n^2}$。 解微分方程和积分关系，$y' = f(x) implies y = int f(x) dx + C$，$y'' = p(x) implies y' = int p(x) dx + C_1$。$int e^x sin x dx$ 这种，直接分部积分两次要么用复数解法都行，结局是 $frac{1}{2} e^x (sin x - cos x)$。$int e^x sin^2 x dx$ 先化简 $frac{e^x}{2}(1-cos 2x)$ 再积分，拿到 $-frac{e^x}{4}cos 2x + frac{e^x}{4}sin 2x + frac{e^x}{4}$。 定积分里 $int_0^{pi/2} cos^n x dx$ 当 $n$ 是偶数时， Wallis 公式 $frac{2 cdot 4 cdot dots cdot (n-2)}{3 cdot 5 cdot dots cdot n} cdot frac{pi}{2}$，当 $n$ 是奇数时，$frac{n-1}{2} cdot frac{n-3}{4} cdot dots cdot frac{1}{n/2} cdot frac{pi}{2}$。$int_0^{pi} cos^n x dx = 0$ 当 $n$ 是奇数，偶数时是 $2 times$ Wallis 结局。$int_0^{pi/2} sin^n x dx$ 同理，前面偶数奇数反过来。 毛病的常见坑，$int x^n dx$ 要是写成 $frac{x^n}{n+1}$ 没提条件 $n neq -1$ 就错了。$int (x+1)^n dx$ 要是 $n=-1$ 得用对数，否则乘积法则 $int x dx neq frac{1}{2}x^2$，这是初学者死记硬背就崩的地方。$int frac{1}{1+x^2} dx$ 要是写成 $arctan x$ 但忘了 $2$ 倍角公式会害得分母搞错。 最终还得提一下，大量公式是特例，比如 $int_0^{infty} e^{-x^2} dx = frac{sqrt{pi}}{2}$ 是两个半平面的积分拼起来，$int_0^{infty} frac{x^{n-1}}{1+x^2} dx = frac{pi}{2 sin(npi/2)}$ 当 $0

还有，$int_0^1 f(n) dx$ 这种微分平均，若 $f$ 连续就是 $frac{1}{n} int_a^b f(x) dx$，若 $f$ 只是可积函数那就要小心了，可能得用黎曼和。 高数积分公式大全 别整那些教科书式的开场白，直接上干货，咱们把积分公式这一大坨玩意儿拆开揉碎了讲。别总想着按部就班地推导，积分本质上是面积和，跟如何推导关系不大。 关于不定积分，看到 $x^n$ 这种幂函数，心里要有个底。

要是是 $x > 0$，那就是 $frac{1}{n+1}x^{n+1}$，分母搞错了指数就废了。

要是 $n$ 是负数，那就得补个 $1$ 进去变成 $(n+1)$ 的指数，要么直接记成 $frac{x^{-n}}{-n}$。再比如自然对数，$int frac{1}{e^x} dx = int e^{-x} dx$，这个反了指数变底数就得抓回来，结局都是 $-e^{-x}$。乘积法则那个 $int ab dx = int a dx + int b dx$ 是错的，那是微分的线性性，积分是线性的，$int [a(x)b(x)] dx neq int a dx + int b dx$，要不就 $f$ 和 $g$ 互相关。 分部积分法 $uv - wv + dots$ 有点啰嗦，核心就是用倒代换，$int x e^{ax} dx$，设 $u=x, dv=e^{ax}dx$，最终凑出 $frac{1}{a}x e^{ax} + int frac{1}{a} e^{ax} dx$，重复积分消掉直到变成原函数。三角函数积分别死记硬背公式，脑子里得有个图。$int sin x dx = -cos x$，$int cos x dx = sin x$，但 $int sin^2 x dx$ 和 $int cos^2 x dx$ 不一样，$sin^2 x$ 化出来是 $frac{1-cos 2x}{2}$，积分就是 $-sin x + frac{1}{2}x$。高斯积分 $int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx = sqrt{pi}$ 这个特例别看难记，但它是黄金分割，大量推导都绕不开它。 定积分的概念比不定积分好办多了，就是面积加减。$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，$F$ 是不定积分，名字听着复杂实际上就是原函数。区间长度 $b-a$ 要是负的，结局就变号了，方向反了。根本积分公式手里得攥着：$int x^n dx$ 对应 $frac{x^{n+1}}{n+1}$，$int a^x dx = frac{a^x}{ln a}$ 这个 $a$ 得大于 $0$ 才行，底数为负要么零就废了。

还有 $e^x$ 的积分就是 $e^x$ 自己，$x$ 积分是 $frac{x^2}{2}$，$ln x$ 积分是 $x$ 挺好办。$ln x$ 的导数就是 $frac{1}{x}$，逆运算就是积分；$e^x$ 导数是 $e^x$，逆运算是积分，这俩是一对双胞胎。 换元积分那些，变形是灵魂。替换 $u$ 之后，别忘了 $dx$ 换成 $du$，系数要是 $-frac{1}{a}$，这是常数乘积法则，搞反了全崩。三角换元最要命，$int sin(ax) dx$ 设 $u=sin ax$，$du = a cos ax dx$，故此 $dx = frac{du}{a cos ax}$，代回去就得除以 $cos ax$，这步时常卡壳。万能公式 $int sqrt{1-x^2} dx$ 对应 $frac{x}{2}sqrt{1-x^2} + frac{1}{2}arcsin x$，记得 $1-x^2$ 里面要是 $e^x$ 就得用 $e^x$，若 $1-x^2$ 是 $tan^2 x$ 就得用 $tan x$。积分根本定理里，$F(x)$ 是原函数，$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，要是区间写成 $[a, b]$，结局就是 $F(b) - F(a)$，要是 $[b, a]$ 就取反了。 反常积分遇到无穷大，得慢慢凑。$int_0^{infty} frac{1}{1+x^4} dx$ 这种无理函数，标准公式不中，得拆成局部分式，把无限区间拆成 $0$ 到 $1$ 和 $1$ 到 $+infty$ 两段分别算。$int_{-infty}^{infty} frac{1}{x^2+1} dx$ 结局就是 $pi$，这是经典，但 $int_{-infty}^{0} frac{1}{x^2+1} dx$ 是 $-pi$，得注意方向。$int_0^{+infty} e^{-x^p} dx$ 这种 p 型积分，当 $p$ 大于 $1$ 的时候收敛，当 $p$ 小于 $1$ 发散，$int_{-infty}^{infty} e^{-|x|^p} dx = sqrt{frac{pi}{Gamma(p/2)}}$ 这个公式看着吓人实际上好办，核心是伽玛函数，具体数值得查表要么算出来。 坐标变换那些，线性变换最 forgiving。$int_{D'} f(x,y) dx dy = int_{D} f(phi(x,y)) J(x,y) dx dy$，$J$ 是雅可比行列式，行列式列出来是 $frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}$，要是行列式是负的，积分方向反了，得整体加个负号。换坐标 $x = phi(u,v), y = psi(u,v)$，积分区域要从矩形变成椭圆，把椭圆坐标算出来代进去就行。 极限里 $int_0^1 frac{1}{sqrt[3]{1-x^2}} dx$ 这种根号瑕点，得用 $lim_{a to 0^+} int_a^1 dots$。$int_0^{+infty} frac{1}{sqrt{1+x^2}} dx$ 是 $[ln(x + sqrt{1+x^2})]_0^{+infty}$，得用对数极限 $1^2+sqrt{2}$ 和 $e^{ln(tan pi/4)}$ 来算。

还有 $int_0^{infty} frac{1}{1+x^p} dx$ 这种 $p$ 型积分，当 $p$ 大于 $1$ 时收敛，当 $p$ 小于 $1$ 发散，$int_0^{+infty} frac{1}{1+x^p} x^{p-1} dx = frac{pi}{p sin(pi/p)}$ 这个形式，那是彻底积分公式的一局部。 解微分方程和积分关系，$y' = f(x) implies y = int f(x) dx + C$，$y'' = p(x) implies y' = int p(x) dx + C_1$。$int e^x sin x dx$ 这种，直接分部积分两次要么用复数解法都行，结局是 $frac{1}{2} e^x (sin x - cos x)$。$int e^x sin^2 x dx$ 先化简 $frac{e^x}{2}(1-cos 2x)$ 再积分，拿到 $-frac{e^x}{4}cos 2x + frac{e^x}{4}sin 2x + frac{e^x}{4}$。 定积分里 $int_0^{pi/2} cos^n x dx$ 当 $n$ 是偶数时，Wallis 公式 $frac{2 cdot 4 cdot dots cdot (n-2)}{3 cdot 5 cdot dots cdot n} cdot frac{pi}{2}$，当 $n$ 是奇数时，$frac{n-1}{2} cdot frac{n-3}{4} cdot dots cdot frac{1}{n/2} cdot frac{pi}{2}$。$int_0^{pi} cos^n x dx = 0$ 当 $n$ 是奇数，偶数时是 $2 times$ Wallis 结局。$int_0^{pi/2} sin^n x dx$ 同理，前面偶数奇数反过来。 毛病的常见坑，$int x^n dx$ 要是写成 $frac{x^n}{n+1}$ 没提条件 $n neq -1$ 就错了。$int (x+1)^n dx$ 要是 $n=-1$ 得用对数，否则乘积法则 $int x dx neq frac{1}{2}x^2$，这是初学者死记硬背就崩的地方。$int frac{1}{1+x^2} dx$ 要是写成 $arctan x$ 但忘了 $2$ 倍角公式会害得分母搞错。 最终还得提一下，大量公式是特例，比如 $int_0^{infty} e^{-x^2} dx = frac{sqrt{pi}}{2}$ 是两个半平面的积分拼起来，$int_0^{infty} frac{x^{n-1}}{1+x^2} dx = frac{pi}{2 sin(npi/2)}$ 当 $0

还有，$int_0^1 f(n) dx$ 这种微分平均，若 $f$ 连续就是 $frac{1}{n} int_a^b f(x) dx$，若 $f$ 只是可积函数那就要小心了，可能得用黎曼和。