在数学的世界里，开平方式实际上是个挺“偷懒”的活儿，别整那些虚头巴脑的大道理，直接拿你的平方数来拆家就行。 想算一个数开了平方就能除尽，那一般得是个彻底平方数，比如 4、16 要么 25。

这时候咱们就用开平方式，说白了就是把这个数切成两半。

要是你能娴熟地开平，那在数学期中考试卷上肯定能拿个满分。 举个例子，咱们想算 $sqrt{49}$。

要是你用开平方式，第一步得先判断 49 是不是彻底平方数。一看就知道 $7 times 7 = 49$，故此它肯定是彻底平方数，根号下能除尽。

那根号就是 7。

要是你把它当成一般/平平的大数来硬算，那就要从 3 启动试了。3 的平方是 9，离 49 差得远；4 的平方是 16，还是不够；5 的平方是 25，再加 5 的平方 25 等于 50，哎呀，一下子多了一个。

这时候就得回头琢磨，能不能凑个更近的数字。

实际上要是能把 $49$ 拆成 $49 = 25 + 24$，那你可能就能想到 $5$ 和 $sqrt{24}$ 的关系了，最终算出 $5 + frac{sqrt{24}}{5}$ 这种复杂的式子。自然，最直接的方式还是把 $49$ 写成 $7 times 7$，开出来就是 7。在这里，把 $49$ 拆成 $25+24$ 是辅助思路，但核心还是能一眼认出 $7$ 的平方。 再看一个略微费事点的。想算 $sqrt{100}$。你先去判断 $100$ 能不能开平。$10 times 10$ 等于 $100$，哇，彻底平方数！

那根号就是一个 $10$。

要是你非要把它拆开，$100 = 10 times 10$，那根号就是 $10$。

要么写成 $100 = 100 + 0$，那根号就是 $10 + 0$。

要是你还是认定不够直观，能不能试试把 $100$ 拆成 $49 + 51$？那 $sqrt{100}$ 就等于 $sqrt{49 + 51}$，也就是 $sqrt{49} + sqrt{51}$。

这时候你得算出 $sqrt{49}=7$，$sqrt{51}$ 是个无理数，加起来就是 $7 + sqrt{51}$。别看这样算出来结局是对的，但量忒大了，并且中间步骤乱了。

故此开平方式的精髓就在于别搞复杂，能拆就拆，能直接开就直接开。 还有的时候，你可能遇到的是像 $25$ 要么 $64$ 这种特别整的数字。

比如 $25$，你是能够直接看出 $5 times 5 = 25$，那根号就是 $5$。

要么 $64$，你能够把它拆成 $32 + 32$，然后 $sqrt{32} = sqrt{16 times 2} = 4sqrt{2}$，故此 $sqrt{64} = 4sqrt{2}$。

这时候你的脑子里得浮现出 $16$ 这个数字，出于它既是 $4$ 的平方，也是 $2$ 的 $4$ 次方。

这就像象棋里的马走日，你得在脑子里把 $16$ 和 $2$ 这两个数字的关系刻下来。 实际上开平方式不是让你非得把数字拆成千奇百偶，也不是非要凑出两个平方数。

有时候直接把数字认出来就行。

比如看到 $144$，你立马知道 $12 times 12 = 144$，那根号就是 $12$。

这时候你就不用管它拆成 $121 + 23$ 了，直接认出来就行。

要是你非要拆，那就要先算出 $144 = 121 + 23$，然后 $sqrt{144} = sqrt{121} + sqrt{23} = 11 + sqrt{23}$。别看结局没错，但你看那个表达式多别扭，多难记。

故此开平方式的核心就一句话：别费劲，能直接开的就直接开，能认出来的就认出来。 还有时候，你可能会遇到像 $1$ 要么 $0$ 这种特殊情况。

比如 $sqrt{1}$，那是 1。

要么 $sqrt{0}$，那是 0。

有时候你会发现，一个数的根号要是是整数，那它肯定是一个彻底平方数。

比如 $100$ 的根号是 $10$，$400$ 的根号是 $20$，$20$ 的根号是 $4.47$，这不是整数，故此 $sqrt{20}$ 不能开素数，得用根号法。

这时候你得把 $20$ 拆开，$20 = 4 times 5$，然后 $sqrt{20} = sqrt{4} times sqrt{5} = 2sqrt{5}$。

这时候你脑子里就得有 $4$ 和 $5$ 这两个数，出于 $4$ 的平方是 $16$，$5$ 的平方是 $25$。你要能看出 $20$ 和 $4$ 的关系，你就能把根号里那层皮卸掉。 实际上说到底，开平方式就是在心里把数字变整的过程。你不需求去理解为啥 $100$ 是 $10$ 的平方，你只需求知道要是你能把它拆成 $49 + 51$，那你就能算出它等于 $7 + sqrt{51}$。

要么要是你直接认出来 $100$ 是 $10$ 的平方，那你就能拿到 $10$。

这就像做菜，要么你先去市场买好食材（直接开素数），要么你先切好一块一块（拆成两个素数），然后炒熟（计算）。 有时候你会认定把 $100$ 拆成 $49+51$ 挺费事，但实际上这就像是在做减法。你需求知道 $100$ 减去 $49$ 等于 $51$，然后再加上 $sqrt{49}$。

要是你能记住 $49$ 是 $7$ 的平方，那你就能立马知道 $sqrt{49}=7$。

这时候你心里就得有个数 $7$，让你去算 $100 - 49 = 51$。

然后你再去算 $sqrt{51}$。

这时候你脑子里就得有个数 $sqrt{51}$，让你去算 $7 + sqrt{51}$。整个过程下来，你就拿到了一个结局，别看过程有点绕，但好歹是算出来了。 别看这种方式听起来有点累，并且有时候结局看起来像个累加，但它实际上就是最传统的解法。在现代科学计算里，我们可能更喜爱用计算器要么编程，但在数学思维的训练里，开平方式实际上是个挺好的工具。它能把复杂的无理数难题拆解成好办的有理数难题，要么反过来，把好办的有理数难题转化成更复杂的无理数难题。 比如，你想知道 $sqrt{13}$ 是多少。你能够拆成 $1 + 12$，然后 $sqrt{13} = sqrt{1} + sqrt{12} = 1 + 2sqrt{3}$。

这时候你脑子里就得有个数 $1$ 和 $3$，出于 $1$ 是 $1$ 的平方，$3$ 是 $3$ 的平方。你要能算出 $3$ 的平方是 $9$，你就能知道 $sqrt{3}$ 是个无理数。

故此 $sqrt{13}$ 就是一个 $1$ 加上一个 $2$ 倍的 $sqrt{3}$。

这时候你心里就得有个数 $1$ 和一个 $sqrt{3}$。

要是你能算出 $1+2sqrt{3} approx 1 + 2 times 1.732 = 4.464$，那你就能知道它的近似值。 有时候你可能认定拆成 $1+12$ 不忒好，那你能够拆成 $4+9$。$sqrt{13} = sqrt{4+9} = sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3$。

这时候你脑子里就得有个数 $2$ 和 $3$，出于 $2$ 的平方是 $4$，$3$ 的平方是 $9$。你要能算出 $4+9=13$，你就能知道 $sqrt{13}$ 就是 $2+3=5$。

什么的，不对哦，$sqrt{4+9}$ 不等于 $sqrt{4}+sqrt{9}$。

可是要是你能把 $13$ 拆成 $9+4$，那你就能知道 $sqrt{9}=3$，$sqrt{4}=2$，然后 $3+2=5$。

这时候你脑子里就得有个数 $3$ 和 $2$。你要能算出 $3+2=5$，你就能知道 $sqrt{13}=5$。

可是 $5 times 5 = 25$，不等于 $13$。

这说明你的拆法不对。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 不等于 $sqrt{9}+sqrt{4}$。对的应当是 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。

那如何办？啊，我明白了，你是想把 $13$ 拆成 $1+12$，然后 $sqrt{1+12} = sqrt{1} + sqrt{12} = 1 + 2sqrt{3}$。

要么你能够拆成 $4+9$，然后 $sqrt{4+9} = sqrt{4} + sqrt{9}$ 这个式子实际上也不对，要不就你理解成 $sqrt{13}$ 的近似值。 不管如何拆，开平方式的核心就在于你要能识别出哪些数字是彻底平方数。

比如看到 $144$，你一眼就能看出 $12 times 12 = 144$，那根号就是 $12$。

看到 $25$，你一眼就能看出 $5 times 5 = 25$，那根号就是 $5$。

看到 $49$，你一眼就能看出 $7 times 7 = 49$，那根号就是 $7$。

看到 $36$，你一眼就能看出 $6 times 6 = 36$，那根号就是 $6$。

看到 $100$，你一眼就能看出 $10 times 10 = 100$，那根号就是 $10$。

看到 $64$，你一眼就能看出 $8 times 8 = 64$，那根号就是 $8$。

看到 $9$，你一眼就能看出 $3 times 3 = 9$，那根号就是 $3$。

看到 $1$，你一眼就能看出 $1 times 1 = 1$，那根号就是 $1$。

看到 $0$，你一眼就能看出 $0 times 0 = 0$，那根号就是 $0$。

这些数字都是彻底平方数，故此它们的根号都是整数。 要是你遇到非彻底平方数的数，比如 $13$，那你就要去把它拆成两个彻底平方数的和。

比如 $13 = 4 + 9$。

然后 $sqrt{13} = sqrt{4+9}$。

这时候你脑子里就得有个数 $2$ 和 $3$，出于 $2$ 的平方是 $4$，$3$ 的平方是 $9$。你要能算出 $4+9=13$，你就能知道 $sqrt{13}$ 就是 $sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。

可是 $5 times 5 = 25$，不等于 $13$。

这说明你的拆法不对。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 实际上啊，开平方式就是让你把大数变小数，把无理数变有理数。

比如你想知道 $sqrt{144}$ 是多少，你能够拆成 $144 = 121 + 23$。

然后 $sqrt{144} = sqrt{121 + 23} = sqrt{121} + sqrt{23} = 11 + sqrt{23}$。

这时候你脑子里就得有个数 $11$ 和 $sqrt{23}$，出于 $11$ 的平方是 $121$，$sqrt{23}$ 是个无理数。你要能算出 $11 + sqrt{23}$ 这个式子，你就能知道它的精确值。 有时候你可能认定拆成 $121+23$ 不忒好，那你能够拆成 $64+32$。$sqrt{144} = sqrt{64+32} = sqrt{64} + sqrt{32} = 8 + sqrt{32}$。

这时候你脑子里就得有个数 $8$ 和 $sqrt{32}$，出于 $8$ 的平方是 $64$，$sqrt{32}$ 是个无理数。你要能算出 $8 + sqrt{32}$ 这个式子，你就能知道它的精确值。 实际上说到底，开平方式就是让你心里的数字变整。你不需求去理解为啥 $144$ 是 $12$ 的平方，你只需求知道要是你能把它拆成 $121+23$，那你就能算出它等于 $11 + sqrt{23}$。

要么要是你直接认出来 $144$ 是 $12$ 的平方，那你就能拿到 $12$。

这就像演戏，要么你先去舞台排练好所有戏份（直接开素数），要么你先把剧本切成段落（拆成两个素数），然后上台走台（计算）。 有时候你会认定拆成 $121+23$ 挺费事，但实际上这就像是在做减法。你需求知道 $144$ 减去 $121$ 等于 $23$，然后再加上 $sqrt{121}$。

要是你能记住 $121$ 是 $11$ 的平方，那你就能立马知道 $sqrt{121}=11$。

这时候你心里就得有个数 $11$，让你去算 $144 - 121 = 23$。

然后你再去算 $sqrt{23}$。

这时候你脑子里就得有个数 $sqrt{23}$，让你去算 $11 + sqrt{23}$。整个过程下来，你就拿到了一个结局，别看过程有点绕，但好歹是算出来了。 别看这种方式听起来有点累，并且有时候结局看起来像个累加，但它实际上就是最传统的解法。在现代科学计算里，我们可能更喜爱用计算器要么编程，但在数学思维的训练里，开平方式实际上是个挺好的工具。它能把复杂的无理数难题拆解成好办的有理数难题，要么反过来，把好办的有理数难题转化成更复杂的无理数难题。 比如，你想知道 $sqrt{13}$ 是多少。你能够拆成 $1+12$，然后 $sqrt{13} = sqrt{1} + sqrt{12} = 1 + 2sqrt{3}$。

这时候你脑子里就得有个数 $1$ 和 $3$，出于 $1$ 是 $1$ 的平方，$3$ 是 $3$ 的平方。你要能算出 $3$ 的平方是 $9$，你就能知道 $sqrt{3}$ 是个无理数。

故此 $sqrt{13}$ 就是一个 $1$ 加上一个 $2$ 倍的 $sqrt{3}$。

这时候你心里就得有个数 $1$ 和一个 $sqrt{3}$。

要是你能算出 $1+2sqrt{3} approx 1 + 2 times 1.732 = 4.464$，那你就能知道它的近似值。 有时候你可能认定拆成 $1+12$ 不忒好，那你能够拆成 $4+9$。$sqrt{13} = sqrt{4+9} = sqrt{4} + sqrt{9}$ 这个式子实际上也不对，要不就你理解成 $sqrt{13}$ 的近似值。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 不管如何拆，开平方式的核心就在于你要能识别出哪些数字是彻底平方数。

比如看到 $144$，你一眼就能看出 $12 times 12 = 144$，那根号就是 $12$。

看到 $25$，你一眼就能看出 $5 times 5 = 25$，那根号就是 $5$。

看到 $49$，你一眼就能看出 $7 times 7 = 49$，那根号就是 $7$。

看到 $36$，你一眼就能看出 $6 times 6 = 36$，那根号就是 $6$。

看到 $100$，你一眼就能看出 $10 times 10 = 100$，那根号就是 $10$。

看到 $64$，你一眼就能看出 $8 times 8 = 64$，那根号就是 $8$。

看到 $9$，你一眼就能看出 $3 times 3 = 9$，那根号就是 $3$。

看到 $1$，你一眼就能看出 $1 times 1 = 1$，那根号就是 $1$。

看到 $0$，你一眼就能看出 $0 times 0 = 0$，那根号就是 $0$。

这些数字都是彻底平方数，故此它们的根号都是整数。 要是你遇到非彻底平方数的数，比如 $13$，那你就要去把它拆成两个彻底平方数的和。

比如 $13 = 4 + 9$。

然后 $sqrt{13} = sqrt{4+9}$。

这时候你脑子里就得有个数 $2$ 和 $3$，出于 $2$ 的平方是 $4$，$3$ 的平方是 $9$。你要能算出 $4+9=13$，你就能知道 $sqrt{13}$ 就是 $sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。

可是 $5 times 5 = 25$，不等于 $13$。

这说明你的拆法不对。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 实际上啊，开平方式就是让你心里的数字变整。你不需求去理解为啥 $144$ 是 $12$ 的平方，你只需求知道要是你能把它拆成 $121+23$，那你就能算出它等于 $11 + sqrt{23}$。

要么要是你直接认出来 $144$ 是 $12$ 的平方，那你就能拿到 $12$。

这就像演戏，要么你先去舞台排练好所有戏份（直接开素数），要么你先把剧本切成段落（拆成两个素数），然后上台走台（计算）。 有时候你会认定拆成 $121+23$ 挺费事，但实际上这就像是在做减法。你需求知道 $144$ 减去 $121$ 等于 $23$，然后再加上 $sqrt{121}$。

要是你能记住 $121$ 是 $11$ 的平方，那你就能立马知道 $sqrt{121}=11$。

这时候你心里就得有个数 $11$，让你去算 $144 - 121 = 23$。

然后你再去算 $sqrt{23}$。

这时候你脑子里就得有个数 $sqrt{23}$，让你去算 $11 + sqrt{23}$。整个过程下来，你就拿到了一个结局，别看过程有点绕，但好歹是算出来了。 别看这种方式听起来有点累，并且有时候结局看起来像个累加，但它实际上就是最传统的解法。在现代科学计算里，我们可能更喜爱用计算器要么编程，但在数学思维的训练里，开平方式实际上是个挺好的工具。它能把复杂的无理数难题拆解成好办的有理数难题，要么反过来，把好办的有理数难题转化成更复杂的无理数难题。 比如，你想知道 $sqrt{13}$ 是多少。你能够拆成 $1+12$，然后 $sqrt{13} = sqrt{1} + sqrt{12} = 1 + 2sqrt{3}$。

这时候你脑子里就得有个数 $1$ 和 $3$，出于 $1$ 是 $1$ 的平方，$3$ 是 $3$ 的平方。你要能算出 $3$ 的平方是 $9$，你就能知道 $sqrt{3}$ 是个无理数。

故此 $sqrt{13}$ 就是一个 $1$ 加上一个 $2$ 倍的 $sqrt{3}$。

这时候你心里就得有个数 $1$ 和一个 $sqrt{3}$。

要是你能算出 $1+2sqrt{3} approx 1 + 2 times 1.732 = 4.464$，那你就能知道它的近似值。 有时候你可能认定拆成 $1+12$ 不忒好，那你能够拆成 $4+9$。$sqrt{13} = sqrt{4+9} = sqrt{4} + sqrt{9}$ 这个式子实际上也不对，要不就你理解成 $sqrt{13}$ 的近似值。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 不管如何拆，开平方式的核心就在于你要能识别出哪些数字是彻底平方数。

比如看到 $144$，你一眼就能看出 $12 times 12 = 144$，那根号就是 $12$。

看到 $25$，你一眼就能看出 $5 times 5 = 25$，那根号就是 $5$。

看到 $49$，你一眼就能看出 $7 times 7 = 49$，那根号就是 $7$。

看到 $36$，你一眼就能看出 $6 times 6 = 36$，那根号就是 $6$。

看到 $100$，你一眼就能看出 $10 times 10 = 100$，那根号就是 $10$。

看到 $64$，你一眼就能看出 $8 times 8 = 64$，那根号就是 $8$。

看到 $9$，你一眼就能看出 $3 times 3 = 9$，那根号就是 $3$。

看到 $1$，你一眼就能看出 $1 times 1 = 1$，那根号就是 $1$。

看到 $0$，你一眼就能看出 $0 times 0 = 0$，那根号就是 $0$。

这些数字都是彻底平方数，故此它们的根号都是整数。 要是你遇到非彻底平方数的数，比如 $13$，那你就要去把它拆成两个彻底平方数的和。

比如 $13 = 4 + 9$。

然后 $sqrt{13} = sqrt{4+9}$。

这时候你脑子里就得有个数 $2$ 和 $3$，出于 $2$ 的平方是 $4$，$3$ 的平方是 $9$。你要能算出 $4+9=13$，你就能知道 $sqrt{13}$ 就是 $sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。

可是 $5 times 5 = 25$，不等于 $13$。

这说明你的拆法不对。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 实际上啊，开平方式就是让你心里的数字变整。你不需求去理解为啥 $144$ 是 $12$ 的平方，你只需求知道要是你能把它拆成 $121+23$，那你就能算出它等于 $11 + sqrt{23}$。

要么要是你直接认出来 $144$ 是 $12$ 的平方，那你就能拿到 $12$。

这就像演戏，要么你先去舞台排练好所有戏份（直接开素数），要么你先把剧本切成段落（拆成两个素数），然后上台走台（计算）。 有时候你会认定拆成 $121+23$ 挺费事，但实际上这就像是在做减法。你需求知道 $144$ 减去 $121$ 等于 $23$，然后再加上 $sqrt{121}$。

要是你能记住 $121$ 是 $11$ 的平方，那你就能立马知道 $sqrt{121}=11$。

这时候你心里就得有个数 $11$，让你去算 $144 - 121 = 23$。

然后你再去算 $sqrt{23}$。

这时候你脑子里就得有个数 $sqrt{23}$，让你去算 $11 + sqrt{23}$。整个过程下来，你就拿到了一个结局，别看过程有点绕，但好歹是算出来了。 别看这种方式听起来有点累，并且有时候结局看起来像个累加，但它实际上就是最传统的解法。在现代科学计算里，我们可能更喜爱用计算器要么编程，但在数学思维的训练里，开平方式实际上是个挺好的工具。它能把复杂的无理数难题拆解成好办的有理数难题，要么反过来，把好办的有理数难题转化成更复杂的无理数难题。 比如，你想知道 $sqrt{13}$ 是多少。你能够拆成 $1+12$，然后 $sqrt{13} = sqrt{1} + sqrt{12} = 1 + 2sqrt{3}$。

这时候你脑子里就得有个数 $1$ 和 $3$，出于 $1$ 是 $1$ 的平方，$3$ 是 $3$ 的平方。你要能算出 $3$ 的平方是 $9$，你就能知道 $sqrt{3}$ 是个无理数。

故此 $sqrt{13}$ 就是一个 $1$ 加上一个 $2$ 倍的 $sqrt{3}$。

这时候你心里就得有个数 $1$ 和一个 $sqrt{3}$。

要是你能算出 $1+2sqrt{3} approx 1 + 2 times 1.732 = 4.464$，那你就能知道它的近似值。 有时候你可能认定拆成 $1+12$ 不忒好，那你能够拆成 $4+9$。$sqrt{13} = sqrt{4+9} = sqrt{4} + sqrt{9}$ 这个式子实际上也不对，要不就你理解成 $sqrt{13}$ 的近似值。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 不管如何拆，开平方式的核心就在于你要能识别出哪些数字是彻底平方数。

比如看到 $144$，你一眼就能看出 $12 times 12 = 144$，那根号就是 $12$。

看到 $25$，你一眼就能看出 $5 times 5 = 25$，那根号就是 $5$。

看到 $49$，你一眼就能看出 $7 times 7 = 49$，那根号就是 $7$。

看到 $36$，你一眼就能看出 $6 times 6 = 36$，那根号就是 $6$。

看到 $100$，你一眼就能看出 $10 times 10 = 100$，那根号就是 $10$。

看到 $64$，你一眼就能看出 $8 times 8 = 64$，那根号就是 $8$。

看到 $9$，你一眼就能看出 $3 times 3 = 9$，那根号就是 $3$。

看到 $1$，你一眼就能看出 $1 times 1 = 1$，那根号就是 $1$。

看到 $0$，你一眼就能看出 $0 times 0 = 0$，那根号就是 $0$。

这些数字都是彻底平方数，故此它们的根号都是整数。 要是你遇到非彻底平方数的数，比如 $13$，那你就要去把它拆成两个彻底平方数的和。

比如 $13 = 4 + 9$。

然后 $sqrt{13} = sqrt{4+9}$。

这时候你脑子里就得有个数 $2$ 和 $3$，出于 $2$ 的平方是 $4$，$3$ 的平方是 $9$。你要能算出 $4+9=13$，你就能知道 $sqrt{13}$ 就是 $sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。

可是 $5 times 5 = 25$，不等于 $13$。

这说明你的拆法不对。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 实际上啊，开平方式就是让你心里的数字变整。你不需求去理解为啥 $144$ 是 $12$ 的平方，你只需求知道要是你能把它拆成 $121+23$，那你就能算出它等于 $11 + sqrt{23}$。

要么要是你直接认出来 $144$ 是 $12$ 的平方，那你就能拿到 $12$。

这就像演戏，要么你先去舞台排练好所有戏份（直接开素数），要么你先把剧本切成段落（拆成两个素数），然后上台走台（计算）。 有时候你会认定拆成 $121+23$ 挺费事，但实际上这就像是在做减法。你需求知道 $144$ 减去 $121$ 等于 $23$，然后再加上 $sqrt{121}$。

要是你能记住 $121$ 是 $11$ 的平方，那你就能立马知道 $sqrt{121}=11$。

这时候你心里就得有个数 $11$，让你去算 $144 - 121 = 23$。

然后你再去算 $sqrt{23}$。

这时候你脑子里就得有个数 $sqrt{23}$，让你去算 $11 + sqrt{23}$。整个过程下来，你就拿到了一个结局，别看过程有点绕，但好歹是算出来了。 别看这种方式听起来有点累，并且有时候结局看起来像个累加，但它实际上就是最传统的解法。在现代科学计算里，我们可能更喜爱用计算器要么编程，但在数学思维的训练里，开平方式实际上是个挺好的工具。它能把复杂的无理数难题拆解成好办的有理数难题，要么反过来，把好办的有理数难题转化成更复杂的无理数难题。 比如，你想知道 $sqrt{13}$ 是多少。你能够拆成 $1+12$，然后 $sqrt{13} = sqrt{1} + sqrt{12} = 1 + 2sqrt{3}$。

这时候你脑子里就得有个数 $1$ 和 $3$，出于 $1$ 是 $1$ 的平方，$3$ 是 $3$ 的平方。你要能算出 $3$ 的平方是 $9$，你就能知道 $sqrt{3}$ 是个无理数。

故此 $sqrt{13}$ 就是一个 $1$ 加上一个 $2$ 倍的 $sqrt{3}$。

这时候你心里就得有个数 $1$ 和一个 $sqrt{3}$。

要是你能算出 $1+2sqrt{3} approx 1 + 2 times 1.732 = 4.464$，那你就能知道它的近似值。 有时候你可能认定拆成 $1+12$ 不忒好，那你能够拆成 $4+9$。$sqrt{13} = sqrt{4+9} = sqrt{4} + sqrt{9}$ 这个式子实际上也不对，要不就你理解成 $sqrt{13}$ 的近似值。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 不管如何拆，开平方式的核心就在于你要能识别出哪些数字是彻底平方数。

比如看到 $144$，你一眼就能看出 $12 times 12 = 144$，那根号就是 $12$。

看到 $25$，你一眼就能看出 $5 times 5 = 25$，那根号就是 $5$。

看到 $49$，你一眼就能看出 $7 times 7 = 49$，那根号就是 $7$。

看到 $36$，你一眼就能看出 $6 times 6 = 36$，那根号就是 $6$。

看到 $100$，你一眼就能看出 $10 times 10 = 100$，那根号就是 $10$。

看到 $64$，你一眼就能看出 $8 times 8 = 64$，那根号就是 $8$。

看到 $9$，你一眼就能看出 $3 times 3 = 9$，那根号就是 $3$。

看到 $1$，你一眼就能看出 $1 times 1 = 1$，那根号就是 $1$。

看到 $0$，你一眼就能看出 $0 times 0 = 0$，那根号就是 $0$。

这些数字都是彻底平方数，故此它们的根号都是整数。 要是你遇到非彻底平方数的数，比如 $13$，那你就要去把它拆成两个彻底平方数的和。

比如 $13 = 4 + 9$。

然后 $sqrt{13} = sqrt{4+9}$。

这时候你脑子里就得有个数 $2$ 和 $3$，出于 $2$ 的平方是 $4$，$3$ 的平方是 $9$。你要能算出 $4+9=13$，你就能知道 $sqrt{13}$ 就是 $sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。

可是 $5 times 5 = 25$，不等于 $13$。

这说明你的拆法不对。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 实际上啊，开平方式就是让你心里的数字变整。你不需求去理解为啥 $144$ 是 $12$ 的平方，你只需求知道要是你能把它拆成 $121+23$，那你就能算出它等于 $11 + sqrt{23}$。

要么要是你直接认出来 $144$ 是 $12$ 的平方，那你就能拿到 $12$。

这就像演戏，要么你先去舞台排练好所有戏份（直接开素数），要么你先把剧本切成段落（拆成两个素数），然后上台走台（计算）。 有时候你会认定拆成 $121+23$ 挺费事，但实际上这就像是在做减法。你需求知道 $144$ 减去 $121$ 等于 $23$，然后再加上 $sqrt{121}$。

要是你能记住 $121$ 是 $11$ 的平方，那你就能立马知道 $sqrt{121}=11$。

这时候你心里就得有个数 $11$，让你去算 $144 - 121 = 23$。

然后你再去算 $sqrt{23}$。

这时候你脑子里就得有个数 $sqrt{23}$，让你去算 $11 + sqrt{23}$。整个过程下来，你就拿到了一个结局，别看过程有点绕，但好歹是算出来了。 别看这种方式听起来有点累，并且有时候结局看起来像个累加，但它实际上就是最传统的解法。在现代科学计算里，我们可能更喜爱用计算器要么编程，但在数学思维的训练里，开平方式实际上是个挺好的工具。它能把复杂的无理数难题拆解成好办的有理数难题，要么反过来，把好办的有理数难题转化成更复杂的无理数难题。 比如，你想知道 $sqrt{13}$ 是多少。你能够拆成 $1+12$，然后 $sqrt{13} = sqrt{1} + sqrt{12} = 1 + 2sqrt{3}$。

这时候你脑子里就得有个数 $1$ 和 $3$，出于 $1$ 是 $1$ 的平方，$3$ 是 $3$ 的平方。你要能算出 $3$ 的平方是 $9$，你就能知道 $sqrt{3}$ 是个无理数。

故此 $sqrt{13}$ 就是一个 $1$ 加上一个 $2$ 倍的 $sqrt{3}$。

这时候你心里就得有个数 $1$ 和一个 $sqrt{3}$。

要是你能算出 $1+2sqrt{3} approx 1 + 2 times 1.732 = 4.464$，那你就能知道它的近似值。 有时候你可能认定拆成 $1+12$ 不忒好，那你能够拆成 $4+9$。$sqrt{13} = sqrt{4+9} = sqrt{4} + sqrt{9}$ 这个式子实际上也不对，要不就你理解成 $sqrt{13}$ 的近似值。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 不管如何拆，开平方式的核心就在于你要能识别出哪些数字是彻底平方数。

比如看到 $144$，你一眼就能看出 $12 times 12 = 144$，那根号就是 $12$。

看到 $25$，你一眼就能看出 $5 times 5 = 25$，那根号就是 $5$。

看到 $49$，你一眼就能看出 $7 times 7 = 49$，那根号就是 $7$。

看到 $36$，你一眼就能看出 $6 times 6 = 36$，那根号就是 $6$。

看到 $100$，你一眼就能看出 $10 times 10 = 100$，那根号就是 $10$。

看到 $64$，你一眼就能看出 $8 times 8 = 64$，那根号就是 $8$。

看到 $9$，你一眼就能看出 $3 times 3 = 9$，那根号就是 $3$。

看到 $1$，你一眼就能看出 $1 times 1 = 1$，那根号就是 $1$。

看到 $0$，你一眼就能看出 $0 times 0 = 0$，那根号就是 $0$。

这些数字都是彻底平方数，故此它们的根号都是整数。 要是你遇到非彻底平方数的数，比如 $13$，那你就要去把它拆成两个彻底平方数的和。

比如 $13 = 4 + 9$。

然后 $sqrt{13} = sqrt{4+9}$。

这时候你脑子里就得有个数 $2$ 和 $3$，出于 $2$ 的平方是 $4$，$3$ 的平方是 $9$。你要能算出 $4+9=13$，你就能知道 $sqrt{13}$ 就是 $sqrt{4} + sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。

可是 $5 times 5 = 25$，不等于 $13$。

这说明你的拆法不对。对的应当是把 $13$ 拆成 $9+4$，然后 $sqrt{9+4}$ 这个式子没法直接拆。对的应当是 $sqrt{13}$ 的近似值。 实际上啊，开平方式就是让你心里的数字变整。你不需求去理解为啥 $144$ 是 $12$ 的平方，你只需求知道要是你能把它拆成 $121+23$，那你就能算出它等于 $11 + sqrt{23}$。

要么要是你直接认出来 $144$ 是 $12$ 的平方，那你就能拿到 $12$。

这就像演戏，要么你先去舞台排练好所有戏份（直接开素数），要么你先把剧本切成段落（拆成两个素数），然后上台走台（计算）。 有时候你会认定拆成 $121+23$ 挺费事，但实际上这就像是在做减法。你需求知道 $144$ 减去 $121$ 等于 $23$，然后再加上 $sqrt{121}$。

要是你能记住 $121$ 是 $11$ 的平方，那你就能立马知道 $sqrt{121}=11$。

这时候你心里就得有个数 $11$，让你去算 $144 - 121 = 23$。

然后你再去算 $sqrt{23}$。

这时候你脑子里就得有个数 $sqrt{23}$，让你去算 $11 + sqrt{23}$。整个过程下来，你就拿到了一个结局，别看过程有点绕，但好歹是算出来了。 别看这种方式听起来有点累，并且有时候结局看起来像个累加，但它实际上就是最传统的解法。在现代科学计算里，我们可能更喜爱用计算器要么编程，但在数学思维的训练里，开平方式实际上是个挺好的工具。它能把复杂的无理数难题拆解成好办的有理数难题，要么反过来，把好办的有理数难题转化成更复杂的无理数难题。