诱导公式大杂烩：那些十年磨一剑的坑 别整那些虚的，直接上干货。诱导公式这东西，看着像个高数里的数学老师排排坐，实际上就三条路：正弦、余弦、正切。

这就好比走登山，要么绕山脚走（两角的和差），要么爬直路（两角的差），要么钻进洞里（两角之和的公式）。 先说正切那玩意儿。正切可毒，记错了全得重来，但记住公式就不怕了。公式得背熟：$tan(alpha - beta) = frac{tanalpha - tanbeta}{1 + tanalphatanbeta}$。

这玩意儿用起来跟减法一样，分子分母都要分好，千万别把分子抄反。举个栗子，$tan(45^circ - 30^circ)$，分子就是 $1 - frac{sqrt{3}}{3}$，分母是 $1 + frac{sqrt{3}}{3} times 1$。算出来是 $frac{2 - sqrt{3}}{3 + sqrt{3}}$。

这时候分子分母都得除以 $sqrt{3}$，认定诶？不对，除以 2 了！再除以 $sqrt{3}$，分子变成 $frac{2}{sqrt{3}} - 1$，分母变成 $frac{3}{sqrt{3}} + 1$，也就是 $sqrt{3} + 1$。最终结局是 $sqrt{3} - 2$。

要是把根号搞错了，比如写成 $sqrt{3} - 1$，那就是一个庞大的坑，全错了。 再看看余弦。余弦那实际上是跟切角有点关系，比正弦略微好记点，口诀是“首同尾异”。

比如 $cos(A - B)$，$A$ 和 $B$ 都在第一个位置，结局在第一个位置；$A$ 和 $B$ 都在第三个位置，结局在第三个位置。

这实际上就是把 $cos(A+B)$ 里的减号看成正号，然后记一下余弦的符号规则就行。公式本身跟切角倒立似的：$cos(alpha + beta) = cosalphacosbeta - sinalphasinbeta$。 好了，正切跟余弦都背了。

那正弦呢？正弦最好办的就是两角差的正弦，$sin(alpha - beta) = sinalphacosbeta - cosalphasinbeta$。

这跟余弦的公式一模一样，只是把 $cos$ 换成 $sin$ 就行。 这时候大量人就纠结了，$sin(A+B)$ 和 $sin(A-B)$ 到底如何记？实际上有个通用的逻辑：$+ - $ 号的位置跟 $+ - $ 号的去向是一一对应的。也就是“首同尾异”。

比如 $sin(A - B)$，$A$ 在第 1 位，$B$ 在第 2 位，结局在第 1 位，$B$ 在第 3 位，结局在第 3 位。

故此 $sin(A + B)$ 就是在 $A$ 和 $B$ 后面加个括号，再套用这个逻辑。 举个例子吧。$sin(60^circ + 30^circ)$。$60$ 是正，$30$ 是正，结局正；$60$ 是负（在公式里），$30$ 是正，结局负。

故此结局是 $sin 60 cos 30 - cos 60 sin 30$。直接代进去算：$frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{3}}{2} - frac{1}{2} times frac{1}{2} = frac{3}{4} - frac{1}{4} = frac{2}{4} = frac{1}{2}$。 这就怪了，$60+30$ 不就是 $90$ 吗？$sin 90$ 不就是 $1$ 吗？

如何算出来是 $0.5$？ 哎呀，我犯了一个低级毛病。$sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$。我刚刚把减号看成正号了，搞反了。

没错，$A+B$ 的时候，$A$ 和 $B$ 是相加，乘积都是正号，然后 $A$ 带着正，$B$ 带着正，结局都是正号。 再试一个：$cos(180^circ - 30^circ)$。$180$ 和 $30$ 都是首，结局都是首。

故此 $cos 180 cos 30 - sin 180 sin 30$。$cos 180 = -1$，$sin 180 = 0$。算出来就是 $-1 times frac{sqrt{3}}{2} - 0 times dots = -frac{sqrt{3}}{2}$。

这就对了，$180-30$ 是 $150$，$cos 150$ 确实是负的。 还有啊，$sin$ 和 $cos$ 的混合公式，也就是正弦和余弦的公式，一般用来求两角之和的正弦。公式是 $sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B$。

这和正切的公式有点像，但多了个正弦和余弦。 再说说正切的降幂。有些时候算起来忒费事，认定正切平方了就是切角平方了，还能够化简。$tan^2 A$ 和 $sec^2 A$ 相关系，$tan^2 A = sec^2 A - 1$。

这个在求导要么长算的时候特别好用。

比如求 $sin 2A$，公式是 $2sin A cos A$。

要是直接求 $cos 2A$，公式是 $cos^2 A - sin^2 A$。

有时候 $tan^2 A$ 更好办算出来，特别是分子分母有公因子的情况。 还有几个好办忘的变体。

比如 $tan(frac{pi}{4} - alpha)$，实际上就是 $frac{1 - tan alpha}{1 + tan alpha}$。分子分母同乘 $sin(45^circ)$ 要么 $cos(45^circ)$ 都能够，但推荐同乘 $sin alpha$ 要么 $cos alpha$ 先把根号消掉再化简。

比如 $tan(30^circ - alpha)$，分子 $frac{1}{sqrt{3}} - tan alpha$，分母 $1 + frac{1}{sqrt{3}}tan alpha$。

这样算比直接带根号有条理多了。 实际上诱导公式最核心的就两点：一是两角和差的公式（也就是 $sin(A pm B), cos(A pm B), tan(A pm B)$ 的展开），二是降幂公式（$tan^2 A = sec^2 A - 1$），还有辅助角公式（$sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$ 这种）。 最终再啰嗦两句，诱导公式不是死记硬背的表格，而是逻辑的集合。正弦公式和余弦公式长得像，正切公式不一样。记忆的时候不要死记公式，要记“头同尾异”、“首同尾异”、“首同尾异”（这里指加法公式的符号规律）。

只要记住这个规律，公式就烂在你的脑子里了。算题的时候，先判断是用哪个公式，再代入数据，最终化简。别被那些根号搞晕了，把根号消掉，再算，一般就对了。 好了，这就是诱导公式的大全。

不管你是高中生还是刚学三角函数，只要把这几点搞明白了，三角函数大题就稳了一半。别死记硬背，理解逻辑，公式自然就顺了。