卡方检验实际上就是个“猜谜”游戏，心里想的是：这两个变量混在一起，到底有没有混账的规律？我们按着步骤去解这个谜。 起初，你得把手里的表格摆平，然后把那些零碎的格子给凑紧。

为啥要把格子凑紧？出于卡方检验最厌恶“留白”。

要是一个格子填了 0，那它就不代表啥了，没法代表一个“事件”的成功或黄了，故此你得把它合并到一个相邻的格子里，否则它就是个空的无意义空间。

比如你看到第一行第一列是 10，第二行第一列是 5，第二行第二列是 20，第三行第二列是 15，这时候你就得仔细看看能不能合并。

要是第一行第一列和第二行第二列能凑成一样大的块，并且它们的总和刚好等于总样本数 n，那就能够合并。

要是你发现某一行加起来比总样本还少，要么某一列加起来比总样本还少，那得赶紧把能凑的凑，凑不成的也别硬凑，否则整个检验的基础就塌了。

只有当所有行和列的总和都稳稳地等于 n 时，你的表格才算好了。 你得算出每个格子里的理论次数，也就是你猜的“应当有多少”。

如何猜？你拿第一行的总和非零格子的总数，除以总样本数，再乘以这个格子原本有多少，就如此好办。公式就是 $E_{ij} = frac{(sum E_{i+}) times (sum E_{+j})}{n}$，但这中间逻辑得理顺。

比如你总共有 100 个样本，第一行有 25 个非零格子，那第一行的预期分布就是 $25/100 = 0.25$。再比如第二列有 15 个非零格子，那这一列的预期分布就是 $15/100 = 0.15$。拿着这两个系数去乘上格子原本的实际数量，就是那个格子的理论值了。

这一步实际上挺像把骰子按在骰子板上，你知道各个面能不能出现，也知道哪些面重合了，把重合的局部算出来，除以总数乘以实际点数，就能拿到理论上的分布。 然后，比较直觉和理论。别被那些漂亮的数学符号绕晕了，咱们直接看数字。把每个格子的实际观察值 $O_{ij}$ 和理论值 $E_{ij}$ 放在一起对比，算出它们的差值 $O - E$，千万别乱搞绝对值，差值本身就有正负，正负代表方向。

接着，把每个格子的差值的平方 ($O-E)^2$ 加起来，别忘了除以 $(O-E)$ 的立方，这是为了消除量纲的影响，让不同大小的样本也能公平比较。

这一步算出来，就是卡方统计量 $chi^2$。

最终，拿这个算出来的 $chi^2$，去查那个长条图，就是那里面的 p 值。 举个例子，你有个 2x2 的表格，第一行是 {'10', '15'}，第二行是 {'12', '20'}，总样本数 n=57。

第一列总和是 22，第二列是 35，加起来 57，没难题。

第一行总和 25，第二行总和 32，加起来 57，也没难题。 目前计算第一格的理论值 $E_1 = (25 times 35) / 57 approx 15.68$。实际值 $O_1 = 10$，差值 $-5.68$，平方是 32.26，除以 15.68 大约是 2.05。 第二格的理论值 $E_2 = (25 times 35) / 57 approx 15.68$（出于只有一列非零），实际值 $O_2 = 15$，差值 $-0.68$，平方是 0.46，除以 15.68 大约是 0.03。 第三格的理论值 $E_3 = (22 times 35) / 57 approx 13.32$，实际值 $O_3 = 12$，差值 $-1.32$，平方是 1.74，除以 13.32 大约是 0.13。 第四个格子的理论值 $E_4 = (22 times 35) / 57 approx 13.32$，实际值 $O_4 = 20$，差值 $6.68$，平方是 44.62，除以 13.32 大约是 3.36。 加总一下，$chi^2 approx 2.05 + 0.03 + 0.13 + 3.36 = 5.57$。 最终查表，自由度 df = (行 - 1) (列 - 1) = 1 1 = 1。自由度为 1 时，$chi^2 = 5.57$ 对应的 p 值大约就在 0.01 到 0.02 之间。

这意味着要是是随机分配的，拿到如此差的结局的概率挺小，联合效应确实存有。 实际上卡方检验那个绿色的曲线图，就是那个长条图，它告诉你的是：当你由大量数据堆砌出来的时候，抽出来的抽样分布是不是能覆盖到全图。

要是 p 值挺小，说明你的数据确实超出了随机程度那么大的范围，那就要小心了。

要是只是偶然碰巧，那 p 值就会挺大，你就应当信任数据只是随机的。

故此卡方检验别看像个猜谜游戏，但只要把格子凑齐、把理论算准、把实际和理论掰扯清楚，那个 p 值自然就出来了。