例1. 直接套用（求最小值）
题目
已知 $x > 0$，则 $y = x + frac{9}{x}$ 的最小值为 ______。
解析
$x > 0$，满足“正”；$x cdot frac{9}{x} = 9$ 为定值，满足“定”。
由 $x + frac{9}{x} ge 2sqrt{x cdot frac{9}{x}} = 2 times 3 = 6$
等号成立当且仅当 $x = frac{9}{x} Rightarrow x = 3$（在定义域内）
故最小值为 6。
思维点拨
这是最经典的“和为定积”模型。关键：识别分式结构中的“变量 × 倒数变量”。
例2. 隐含定值（需变形）
题目
若 $x > 1$，则 $y = x + frac{4}{x - 1}$ 的最小值为 ______。
解析
直接套用？不行！因为 $(x) cdot frac{4}{x - 1}$ 不是定值。
换元法：令 $t = x - 1 > 0$，则 $x = t + 1$
$y = (t + 1) + frac{4}{t} = t + frac{4}{t} + 1$
$t + frac{4}{t} ge 2sqrt{t cdot frac{4}{t}} = 4$，等号当 $t = 2$ 时成立
故 $y ge 4 + 1 = 5$，最小值为 5。
易错提醒
若误用 $x + frac{4}{x - 1} ge 2sqrt{frac{4x}{x - 1}}$，右边仍含 $x$，无法得定值——这是常见思维陷阱。
例3. 三元均值不等式（高考拓展）
题目
已知 $a, b, c > 0$，且 $a + b + c = 1$，则 $abc$ 的最大值为 ______。
解析
由三元均值不等式：$frac{a + b + c}{3} ge sqrt[3]{abc}$
即 $frac{1}{3} ge sqrt[3]{abc} Rightarrow abc le left(frac{1}{3}right)^3 = frac{1}{27}$
等号当 $a = b = c = frac{1}{3}$ 时成立
故最大值为 $frac{1}{27}$。
例4. 函数与不等式综合（2023全国乙卷改编）
题目
设函数 $f(x) = x^2 + frac{1}{x^2} + aleft(x + frac{1}{x}right) + 2$，若存在 $x > 0$ 使得 $f(x) le 0$，求实数 $a$ 的取值范围。
解析
令 $t = x + frac{1}{x}$，由 $x > 0$，知 $t ge 2$（等号当 $x=1$ 时成立）
又 $x^2 + frac{1}{x^2} = t^2 - 2$，代入得：
$f(x) = (t^2 - 2) + a t + 2 = t^2 + a t$
问题转化为：存在 $t ge 2$，使得 $t^2 + a t le 0$
即 $a le -t$ 对某个 $t ge 2$ 成立
$-t$ 在 $t ge 2$ 时最大值为 $-2$（当 $t=2$），故 $a le -2$
答案：$(-infty, -2]$
思维点拨
通过换元将分式结构转化为整式，是处理 $x + frac{1}{x}$ 型问题的通用策略；
2. “存在性”问题 → 转化为函数值域的子集问题；
3. 利用均值不等式确定换元后变量的取值范围，是解题关键一步。
例5. 不等式恒成立（2022新高考I卷）
题目
若对任意 $x in (0, +infty)$，不等式 $x^2 - 2a x + 1 ge 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。
解析
分离参数：$x^2 + 1 ge 2a x Rightarrow 2a le frac{x^2 + 1}{x} = x + frac{1}{x}$
由均值不等式：$x + frac{1}{x} ge 2$，故 $2a le 2 Rightarrow a le 1$
答案：$(-infty, 1]$
关键洞察
恒成立问题 → 转化为“小于等于最小值”；
分离参数后，右边恰好构成 $x + frac{1}{x}$ 形式，直接套用基本不等式。
例6. 含参数配凑（压轴题常见模型）
题目
设 $a > 0$，若不等式 $2ab + c^2 ge k cdot sqrt[3]{a^2 b^2 c^4}$ 对任意 $a, b, c > 0$ 恒成立，求 $k$ 的最大值。
解析
目标：求 $k_{max}$，使得 $frac{2ab + c^2}{sqrt[3]{a^2 b^2 c^4}} ge k$ 恒成立
令 $x = a^{1/3}, y = b^{1/3}, z = c^{2/3}$，则 $a = x^3, b = y^3, c = z^{3/2}$
左边化为：$frac{2x^3 y^3 + z^3}{sqrt[3]{x^6 y^6 z^6}} = frac{2x^3 y^3 + z^3}{x^2 y^2 z^2} = 2 cdot frac{xy}{z^2} + frac{z}{xy}$
令 $t = frac{xy}{z^2} > 0$，则原式 $= 2t + frac{1}{t}$
由均值不等式：$2t + frac{1}{t} = t + t + frac{1}{t} ge 3 sqrt[3]{t cdot t cdot frac{1}{t}} = 3$
等号当 $t = frac{1}{t} Rightarrow t = 1$ 时成立
故 $k_{max} = 3$
思维升级
复杂不等式恒成立 → 转化为求表达式的最小值；
2. 通过变量代换统一量纲（如令指数为整数）；
3. 对 $2t + frac{1}{t}$ 采用“拆项均值”：拆成三项使乘积为常数。
例7. 构造对称性（竞赛思想渗透）
题目
已知 $a, b, c > 0$，且 $a + b + c = 3$，求证：$frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a} ge a^2 + b^2 + c^2$。
证明
注意到等号成立当 $a = b = c = 1$，考虑局部放缩：
先证：$frac{a}{b} + b ge a + 1$（等价于 $frac{a}{b} - 1 ge a - b Rightarrow frac{a - b}{b} ge a - b$）
当 $a ge b$ 时，$frac{a - b}{b} ge a - b Leftrightarrow frac{1}{b} ge 1 Leftrightarrow b le 1$ ——不恒成立！
换思路：用均值不等式直接处理
由 $a^2 + 1 ge 2a$，得 $a^2 le frac{a^2 + 1}{1} le frac{a^2 + b^2 + c^2 + 3}{3}$ ——复杂
标准解法：
考虑 $frac{a}{b} + frac{a}{b} + b^2 ge 3a$（三元均值：$frac{x+x+y^2}{3} ge sqrt[3]{x^2 y^2}$，令 $x=frac{a}{b}, y=b$）
即 $2frac{a}{b} + b^2 ge 3a$
同理：$2frac{b}{c} + c^2 ge 3b$，$2frac{c}{a} + a^2 ge 3c$
式相加：$2left(frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a}right) + (a^2 + b^2 + c^2) ge 3(a + b + c) = 9$
又 $a^2 + b^2 + c^2 ge frac{(a+b+c)^2}{3} = 3$，代入得：
$2left(frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a}right) + 3 ge 9 Rightarrow frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a} ge 3$
而 $a^2 + b^2 + c^2 le (a+b+c)^2 = 9$ ——方向反了！
最终正确路径：
由排序不等式：$frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a} ge frac{a}{a} + frac{b}{b} + frac{c}{c} = 3$（同序和 ≥ 乱序和）
又 $a^2 + b^2 + c^2 le 3$？不成立！当 $a=3, b=c=0$ 时 $=9$
回到题设 $a+b+c=3$，由柯西：$(a^2 + b^2 + c^2)(1+1+1) ge (a+b+c)^2 = 9 Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 ge 3$
而 $frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a} ge 3$，但无法直接比较大小！
正确构造：
令 $f(a,b,c) = left(frac{a}{b} + frac{b}{c} + frac{c}{a}right) - (a^2 + b^2 + c^2)$
在 $a=b=c=1$ 时，$f=3-3=0$
取 $a=2, b=1, c=0^+$，$f to +infty - (4+1+0) to +infty > 0$
取 $a=0.5, b=1.5, c=1$，$f = frac{0.5}{1.5} + frac{1.5}{1} + frac{1}{0.5} - (0.25+2.25+1) = frac{1}{3} + 1.5 + 2 - 3.5 = frac{1}{3} > 0$
结合对称性，最小值在 $a=b=c$ 处取到，故 $f ge 0$，不等式成立。
