图形公式大全（图解） 别想着整篇来看，一般/平平人根本消化不了那些教科书式的完美排版。咱们就搞点对应图，看着像乱麻，实际上逻辑特别顺。 起初得搞懂坐标系。平面几何里，直角坐标系就是最基础的，X 轴代表水平，Y 轴代表垂直。咱们画个十字，横着是 x，竖着是 y。点的位置就绝对了，比如点 (2, 5)，就是往右走两步，再往上走五步。

那有个陷阱要注意，数学家习惯用 (0,0) 当原点，但程序员和物理学家有时候喜爱用 (-1, -1) 要么 (1, 1) 当原点，千万别搞混了，坐标变换搞错了，整个公式就废了。 下面这个公式是五角星，算清楚面积才是真本事。别看它看起来是个六边形，但去掉中间那个倒三角，就剩个五边形了。按规矩，五边形的面积是 $0.5 times (5-1) times 0.5 times sqrt{25-4} = 2.5sqrt{6}$。但这不对，五角星面积得减去中间那个小五边形的面积。中间那个五边形，边长是 $sqrt{2}$，按同样的公式算，面积是 $0.5 times 4 times 0.5 times sqrt{21} = sqrt{21}$。

故此最终答案是 $2.5sqrt{6} - sqrt{21}$。

看着吓人？实际上挺好办的，就是多减一点，别把自己累死。 再看这圆，公式是 $A = frac{1}{2} r^2 times theta$。$r$ 是半径，$theta$ 是角度。

要是 $theta$ 是 360 度，那就是整个圆，$A = pi r^2$；要是是 180 度，就是一半，$A = frac{1}{2} pi r^2$。别总当作半径越大面积越大，实际上半径是平方关系，半径翻倍，面积要变四倍，别到时候画了图认定不对劲，重新量一遍。 三角函数这块，正弦、余弦、正切，公式别看一样，但代入数值时得看情况。

比如三角形内角和 180 度，两个角加起来 120 度，第三个就是 60 度。$sin(60^circ)$ 是 $frac{sqrt{3}}{2}$，$cos(60^circ)$ 是 $frac{1}{2}$，$tan(60^circ)$ 是 $sqrt{3}$。用图形推导出这些数，比死记硬背靠谱多了。 菱形面积有个公式：$A = frac{1}{2} times d_1 times d_2$。$d_1$ 是对角线长，$d_2$ 是对角线另一条。

这个挺好用，特别是画正方形时，对角线一算，面积立马蹦出来。

不用算边长，不用算角度，只要两条线各量一次，直接乘除，好办粗暴。 圆环面积公式是 $A = pi R^2 - pi r^2$，也就是 $pi (R^2 - r^2)$。环宽是 $w = R - r$，那 $R^2 - r^2$ 能够变形为 $R^2 - (R-w)^2 = 2Rw - w^2$。

故此面积就是 $pi (2Rw - w^2)$。

这个公式在计算复杂环形零件时特别 handy，别一直硬套 $pi R^2$，那样会多算出一大块。 抛物线 $y = ax^2$ 的焦点弦长公式是 $L = frac{4p}{1+cos^2alpha}$。$alpha$ 是弦与主轴夹角，$p$ 是焦点到准线距离。

这个公式在光学和天文学里时常见，比如计算彗星尾巴的长度。画个图，$x$ 轴是主轴，$y$ 轴垂直向下。当 $alpha = 0$ 时，弦切于顶点，$L = 4p$；当 $alpha$ 接近 90 度时，弦变长，公式里的 $cos^2$ 就变小了。 椭圆面积公式是 $A = pi a b$。$a$ 是长半轴长，$b$ 是短半轴长。椭圆就是圆被拉扁了，$a > b$。拉得越扁，$b$ 越小，面积越小，但周长在变长。椭圆参数方程是 $x = a cos t, y = b sin t$，参数 $t$ 从 0 变到 2$pi$，这就扫完了整个椭圆。 圆柱体体积是 $V = pi r^2 h$，表面积是 $S = 2pi r (r + h)$。

这里有个易错点，表面积别忘了算上下底面，别只算侧面积。

要是是挖空的圆柱，比如空心管，那表面积就得减去内表面积，加上外和内侧的面积之和，别搞反了。 圆锥体积是 $V = frac{1}{3} pi r^2 h$，表面积是 $S = pi r (r + sqrt{r^2 + h^2})$！

注意，圆锥的侧面展开是个扇形，扇形的半径是母线长，不是底面半径。大量人好办在这里犯错，把母线当成了半径，算出来的面积就偏小。 球体表面积公式挺经典：$S = 4 pi r^2$。体积公式是 $V = frac{4}{3} pi r^3$。

这两个公式在物理里时常用，比如计算电子云要么行星表面重力。别总习惯用半径，有时候直径更撇脱，只要记得 $r = d/2$，把 $r^2$ 换成 $(d/2)^2$，公式就通了。 高尔顿树，也叫杨氏树，用来模拟遗传概率。画个圆，分成 4 个象限，每个象限分 4 个小格，总共 16 格。左下角是种子，往上走一格记概率 $p$，左右各一格记概率 $q$。每个格子就是下一代的分叉。画完之后，最终叶子上的概率就是总概率。

这个图忒直观了，比堆公式管用多了。 斐波那契堆，坐标是 $(F_n, n)$，$F_n$ 是第 $n$ 个斐波那契数，$n$ 是从 0 启动的自然数。

这个组合忒奇了，按一般规律，$n$ 越大，$F_n$ 增长越快，坐标应当成斜率上升。可斐波那契堆偏偏是直线，$y=x$。

为啥？出于 $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$，代入坐标就是 $(F_n + F_{n-1}, n+1)$，跟 $(F_n, n)$ 比较，$y$ 坐标只增 1。 黄金分割矩形，长宽比是 $phi = frac{sqrt{5}+1}{2} approx 1.618$。画个矩形，长为 5，宽就是 $5 / 1.618 approx 3.09$。黄金矩形有个神奇性质，不管如何切，切出来的两个小矩形，大小一样，都是黄金矩形的变体。

这在建筑设计里挺常见，比如帕特农神庙的柱廊。 相似变换，把点 $P(x,y)$ 映射到 $P'(ax, ay)$。

这玩意儿在计算机图形学里叫缩放，把整个图放大或缩小。但在几何上，相似变换只转变大小，不转变形状和角度。把两个形状相似，平移、旋转、缩放后还是相似的。

这个概念在比例尺、投影图里时常用到，别总把相似当成全等，全等还得等边对等，相似只要对应角相等就行。 笛卡尔坐标 $(x, y)$ 和极坐标 $(r, theta)$ 之间，转换公式是 $x = r cos theta, y = r sin theta$；反过来 $r = sqrt{x^2 + y^2}, tan theta = y/x$。极坐标在圆、扇形、旋转对称图形里好用，笛卡尔坐标在直线、矩形、两点间距离里好用。别总当作哪个公式万能，要按需取用。 螺旋公式，参数方程是 $x = r cos t, y = r sin t, t$ 从 0 变到 $2pi$。

这画出来是个整个的圆。

要是 $t$ 从 0 变到 $pi$，那就是半个圆。螺旋线能够是直角螺旋，也能够是等宽螺旋，后者是每个圈宽一样。等宽螺旋的圆心角 $2pi/n$ 是 $2pi / sqrt{1+C}$，$C$ 是圈数，这个公式在分析生态分布或晶体结构时有用。 欧拉公式 $e^{itheta} = cos theta + i sin theta$，把这个展开，等号右边就是复数单位圆上的点。模长是 $1$，辐角是 $theta$。它在信号处理、量子力学里都是核心公式。别被它的形式吓到，说白了就是勾股定理在复数域的延伸。 椭圆积分面积，$A = pi a b sqrt{1 - frac{b^2}{a^2}}$。

这个看起来复杂，实际上是把圆面积乘以修正系数。系数是椭圆离心率的函数。离心率越大，椭圆越扁，面积越小。别总想用圆面积套椭圆，强行套会出错，得用这个专门的公式。 球坐标 $(rho, phi, theta)$，$rho$ 是距离原点距离，$phi$ 是俯仰角（从北向上），$theta$ 是方位角（从东向西）。转换到直角坐标是 $x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi$。

这个坐标系在电磁场计算里常用，比如描述球对称的电场或磁偶极子。 高斯公式，$iint_S f mathbf{n} dS = iiint_V nabla cdot mathbf{f} dV$。

这个公式能把表面的积分变成体积分，计算起来好办多了。

前提是 $f$ 在区域可积，$S$ 是封闭曲面。在计算电场通量时时常用它，别总想绕着表面算，直接算肚子里的源汇。 散度，$nabla cdot mathbf{f} = frac{partial p}{partial x} + frac{partial q}{partial y} + frac{partial r}{partial z}$。算出来是个标量，代表源或汇的强度。

要是散度为正，那是往外流；负数就是往里聚。

这个概念在流体动力学里特别关键，比如判断风场是不是均匀的。 旋度，$nabla times mathbf{f} = left( frac{partial r}{partial y} - frac{partial q}{partial z} right) mathbf{i} + left( frac{partial p}{partial z} - frac{partial r}{partial x} right) mathbf{j} + left( frac{partial q}{partial x} - frac{partial p}{partial y} right) mathbf{k}$。算出来是个向量，代表旋转程度。

要是旋度为 0，向量场是无旋场，没有涡旋。

这在磁场分析里挺常用，判断电场是不是静场。 格林公式，$iint_D (frac{partial p}{partial x} - frac{partial q}{partial y}) dA = oint_{partial D} (p dx + q dy)$。

这是线积分和面积分的桥梁。把密密麻麻的线积分，变成好办的围道积分，计算量小多了。别总纠结面分里的积分，直接围道积分，大量题都绕不那会儿了。 斯托克斯公式，$iint_S (nabla times mathbf{f}) cdot mathbf{n} dS = oint_{partial S} mathbf{f} cdot dmathbf{l}$。线积分沿着边界回路算，等于曲面内旋度的通量。

这个公式在处理有旋场时特别撇脱，比如计算涡流能量。别总想算线积分，直接算曲面通量，结局一样，但好算多了。 高斯散度定理，$iiint_V (nabla cdot mathbf{f}) dV = iint_S (nabla cdot mathbf{f}) mathbf{n} dS$。

这是高斯公式的立体版。把体积分变成表面积分，适合算封闭曲面。在计算通量时，这个定理是主力，别总想硬算各个面的法向积分，直接凑公式最快。 曲率公式 $K = frac{1}{1+(y')^2} |y''|$。算出一条曲线弯曲程度。$K$ 越大，弯曲越了得。

这个公式在微分几何里关键，用来定义黎曼流形。别总当作 $K$ 正负代表凹凸，实际上看绝对值。 高斯曲率 $K_{surf} = frac{K}{cosgamma}$，$gamma$ 是切平角。曲率张量里的分量，用来描述曲面局部属性。在测地线和测地曲率里时常遇到，别被符号搞晕了，只看绝对值。 球面坐标曲率，$K = frac{sin^2phi}{rho^2}$，$rho$ 是到北极距离。

这个公式在球面三角学里应用广泛。别总当作球面图是平的，曲率处处不同，要记住 $rho$ 不能为 0，否则公式失效。 切平角 $gamma$，公式是 $cotgamma = -frac{K}{E}$。$E$ 是扩展量，描述曲面在切平面上的度量。在黎曼几何里，这个角拍板了曲面的“弯曲方向”，正负代表凸还是凹，这玩意儿在广义相对论里挺常用。 测地线方程，$ddot{x} + Gamma^i_{mk} dot{x}^m dot{x}^k = 0$。描写测地线运动，$gamma$ 是切平角，$Gamma$ 是黎曼度量张量分量。别总用牛顿力学公式，测地线是广义相对论里的概念，描述无外力情况下粒子如何走。 曲率半径 $R = frac{1}{K}$。

这是测地线曲率半径，和测地曲率半径。在球面几何里常用，用来定义球心。别把这两个搞混，一个是空间弯曲程度，一个是轨迹弯曲程度。 测地曲率 $K_g = frac{1}{rho} frac{dphi}{dlambda}$。$rho$ 是测地曲率半径，$phi$ 是切平角，$lambda$ 是弧长。

这个量衡量轨迹偏转的程度。在非欧几里得几何里，这玩意儿有古怪，别总把它当一般/平平曲率看。 黎曼度量张量 $g_{ij} = frac{1}{1+(y')^2} (1, 2y'y', (y')^2)$。

这是曲率张量在切平面上的投影。别总用欧几里得距离算，黎曼度量寻思了非线性效应。 测地线长度 $L = int_{gamma} sqrt{1+(y')^2} ds$。积分曲线长度，$ds$ 是弧长元素。

这个公式在计算曲线最短路径时常用，比如测地线的极值。 测地曲率 $kappa_g = frac{kappa n_g}{1+kappa n} frac{dphi}{dlambda}$。$kappa$ 是空间曲率，$n_g$ 是曲率项。别被公式吓到，核心就是 $kappa$ 和 $phi$ 的比值，$n_g$ 是修正系数。 高斯曲率张量 $K_{ij} = frac{1}{2} (E_{ik}E_{jk} - E_{kk}delta_{ij})$。描述曲率张量在切平面的分量。在广义相对论里，这玩意儿拍板时空曲率。别总当作 $K_{ij}$ 和 $K$ 一样，一个是对称张量，一个是标量。 测地线平行移动，$frac{Dv^i}{dlambda} = Gamma^i_{jk} v^j v^k$。描述向量沿测地线如何变化。在黎曼几何里，这拍板了流形上的平行结构。 曲率定义 $K = frac{det(g_{ij})}{det(g_{ij})}$。

这个忒抽象，实际上就是高斯曲率。别总用行列式开玩笑，这是标准定义。 测地线测地曲率 $kappa_g(gamma) = frac{kappa_g(s)}{1+kappa_g(s) int sqrt{1+(y')^2} ds}$。$kappa_g(s)$ 是路径点处的测地曲率。

这个公式在复杂路径分析里有用，别总当作测地曲率就是零。 曲率流公式 $kappa = frac{1}{1+(y')^2} left( y'' - frac{y'^2}{1+(y')^2} right)$。算出一条曲线下，曲率随位置变化。别总用点值，这是导数形式。 测地线方程组 $ddot{x} = -Gamma^i_{jk} dot{x}^j dot{x}^k$。

这是测地线运动的微分方程，$gamma$ 是切平角。在广义相对论里，这是爱因斯坦场方程简化后的形式。 曲率张量分块 $K_{ij} = frac{1}{2} (E_{ik}E_{jk} - E_{kk}delta_{ij})$。

这是曲率张量在切平面上的投影，$E$ 是扩展量。别总混淆 $K$ 和 $K_{ij}$，一个是标量，一个是矩阵。 测地线平行移速率 $frac{Dv^i}{dlambda} = Gamma^i_{jk} v^j v^k$。

这是测地线平行移动的速度，$gamma$ 是切平角。在相对论中，这拍板了惯性系对时空的影响。 曲率定义公式 $K = det(g^{-1}) det(g)$。

这是高斯曲率的定义，$g$ 是度量张量。别总用行列式搞混，这是核心定义。 测地线测地曲率 $kappa_g = frac{1}{rho} frac{dphi}{dlambda}$。$rho$ 是测地曲率半径，$phi$ 是切平角。

这个量描述轨迹偏转，和空间曲率不同。 高斯曲率 $K = frac{1}{r^2}$。

这个忒具体了，和曲率半径平方成反比。别总当作 $r$ 是任意半径，这是弯曲半径。 测地线方程 $ddot{x} + Gamma^i_{jk} dot{x}^j dot{x}^k = 0$。

这是测地线运动方程，$gamma$ 是切平角。在广义相对论里，这拍板粒子如何测地。 曲率张量 $K_{ij} = frac{1}{2} (E_{ik}E_{jk} - E_{kk}delta_{ij})$。描述曲率张量在切平面分量。在黎曼几何里，这拍板流形局部结构。 测地线长度 $L = int sqrt{1+(y')^2} ds$。积分曲线长度，$ds$ 是弧长。在黎曼几何里，这定义测地线的极值。 曲率定义 $K = frac{det(g_{ij})}{det(g_{ij})}$。

这是高斯曲率的标准定义。在黎曼流形里，这拍板时空曲率。 测地线平行移 $frac{Dv^i}{dlambda} = Gamma^i_{jk} v^j v^k$。描述向量沿测地线变化。在相对论里，这拍板惯性系对时空的弯曲影响。 曲率张量 $K_{ij} = frac{1}{2} (E_{ik}E_{jk} - E_{kk}delta_{ij})$。

这是曲率张量在切平面的投影。在广义相对论里，这拍板流形局部几何。 测地线偏转率 $kappa_g = frac{kappa}{1+kappa int sqrt{1+(y')^2} ds}$。$kappa$ 是空间曲率。

这个量描述路径在弯曲空间中的偏转。 测地线方程 $ddot{x} = -Gamma^i_{jk} dot{x}^j dot{x}^k$。

这是测地线运动微分方程，$gamma$ 是切平角。在广义相对论里，这拍板粒子如何沿时空测地。