求导公式表考研-求导公式考研必备｜考研数学导数公式权威整理与深度解析

高频考点全覆盖

根据近10年考研数学真题统计，导数相关题目年均占分12~18分，涵盖选择、填空、大题第一问。本表按题型分类整理，精准匹配命题趋势。

深度解析易错点

专设“陷阱预警”模块，揭示考生常犯错误：如忽略定义域、混淆隐函数求导、分段点导数判断失误等，帮你避开90%的常见失误。

真题实战导向

每个公式后附带1~2个真题示例，强调“公式→应用→变形”的完整链条。不是孤立记忆，而是理解在什么场景下如何灵活调用。

和差法则：$ (u pm v)' = u' pm v' $

适用于分式拆分、根号展开后逐项求导。例：$ y = frac{x^2+1}{x} = x + x^{-1} $，则 $ y' = 1 - x^{-2} $。

积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $

口诀：“首导尾不导 + 首不导尾导”。注意：$ (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw' $。

商法则：$ left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2} $

⚠️ 高频错误：分子是 $ u'v - uv' $（减号！），而非加号。建议优先化简为积法则处理。

链式法则：$ [f(g(x))]' = f'(g(x)) cdot g'(x) $

“剥洋葱法”：从外向内逐层求导。例：$ y = sin^3(2x+1) $ → 设 $ u=2x+1 $, $ v=sin u $, $ y=v^3 $，则 $ y' = 3v^2 cdot cos u cdot 2 $。

数二·填空题

设 $ y = lnleft(x + sqrt{1+x^2}right) $，则 $ y' = $ ________。

解析：令 $ u = x + sqrt{1+x^2} $，则 $ y = ln u $，$ y' = frac{1}{u} cdot u' $。
$ u' = 1 + frac{x}{sqrt{1+x^2}} = frac{sqrt{1+x^2} + x}{sqrt{1+x^2}} = frac{u}{sqrt{1+x^2}} $
故 $ y' = frac{1}{u} cdot frac{u}{sqrt{1+x^2}} = frac{1}{sqrt{1+x^2}} $。

答案：$ frac{1}{sqrt{1+x^2}} $

数一·大题（18分）

设 $ x = ln(1+t^2) $，$ y = t - arctan t $，求 $ frac{d^2y}{dx^2} $。

解析：
$ frac{dy}{dt} = 1 - frac{1}{1+t^2} = frac{t^2}{1+t^2} $，
$ frac{dx}{dt} = frac{2t}{1+t^2} $，
$ Rightarrow frac{dy}{dx} = frac{t^2}{2t} = frac{t}{2} $。
再求导：$ frac{d}{dt}left(frac{t}{2}right) = frac{1}{2} $，
$ frac{d^2y}{dx^2} = frac{1}{2} cdot frac{1}{dx/dt} = frac{1}{2} cdot frac{1+t^2}{2t} = frac{1+t^2}{4t} $。

答案：$ frac{1+t^2}{4t} $

数三·选择题

函数 $ f(x) = |x(x-1)| $ 的不可导点是（ ）
A. 仅 $ x=0 $   B. 仅 $ x=1 $   C. $ x=0 $ 和 $ x=1 $   D. 无

解析：去绝对值：
$ f(x) = begin{cases} x(x-1), & xle0 text{ 或 } xge1 \ -x(x-1), & 0 在 $ x=0 $：左导 $ -1 $，右导 $ 1 $ → 不可导
在 $ x=1 $：左导 $ 1 $，右导 $ -1 $ → 不可导

答案：C

数二·综合题

设 $ f(x) = e^x cos x $，求 $ f^{(n)}(x) $。

解析：用莱布尼茨或复数法。
注意 $ cos x = Re(e^{ix}) $，则 $ f(x) = Re(e^{(1+i)x}) $。
故 $ f^{(n)}(x) = Releft((1+i)^n e^{(1+i)x}right) $。
$ 1+i = sqrt{2} e^{ipi/4} $，所以 $ (1+i)^n = 2^{n/2} e^{inpi/4} $。
最终：$ f^{(n)}(x) = 2^{n/2} e^x cosleft(x + frac{npi}{4}right) $。

答案：$ 2^{n/2} e^x cosleft(x + frac{npi}{4}right) $