cos 的原函数公式，实际上大量时候我们都在背，但要是真去算具体题目，脑子里可能还是空着的那片。别指望按部就班地背公式就能把 cos⁻¹(x) 写得行云流水，特别是涉及到积分要么反三角函数求导的时候，略微一紧张就好办忘。

这个函数跟 sin 对勾，它的原函数也是 sin，但求导的时候方向反了，多出来个负的。 说到积分，cos(x) dx 的答案是 sin(x) + C，这个好办到能够忽略不计。但一旦我们要反解，就是积分 cos(x) 看不清它的原函数是啥了，这时候就得掏出那个反三角函数表。cos⁻¹(x) 的原函数就是 arcsin(x) 吗？不对哦，那是 sin⁻¹(x)。cos⁻¹(x) 的原函数实际上是 x·sin(x) 加上一个常数，这是天书公式里的硬伤。 大量学积分的学生，看到 cos 就直接写 sin，结局一做题发现符号对不上，要么导数后面那个负号搞错了。

这时候就得小心点。

比如要算 ∫ cos(x) dx，直接写 sin(x) + C 是最稳妥的，没有歧义。

要是反过来，求 ∫ sin(x) dx，那就是 -cos(x) + C，这一步大量人绕晕了。

故此记住这个：cos 的原函数是 sin，sin 的原函数是 -cos，这是最基础的，也是最好办出错的点。 要是你想深入一点，看看它们的导数长啥样，cos 的导数就是 -sin(x)，sin 的导数是 cos(x)，这俩是一一对应的，哪位减哪位，哪位加哪位。在微积分里，反三角函数求导是个经典考点。cos⁻¹(x) 的导数就费事点，公式里有个负号，还有分母。sin⁻¹(x) 的导数带个负号，cos⁻¹(x) 的导数直接就是负的 sin 除以 x 的平方根下（1-x²）。拿数据讲话，比如 x=0 的时候，cos⁻¹(x) 的导数是 -1，而 sin⁻¹(x) 的导数是 1，这个明显的区别在证明题里时常是判分点。 在实际计算中，有时候不需求直接求导，而是用分部积分法。

比如算 ∫ x·cos(x) dx，这时候用分部积分，设 u=x，dv=cos(x)dx，算出来就是 x·sin(x) - ∫ sin(x)dx = x·sin(x) + cos(x) + C。

要是直接套公式，好办算错代换项。 还有几个地方好办混淆，比如 cos(x) 的原函数 sin(x) 在 [0, π] 区间内是单调减的，但积分区间要是 [0, π] 的话，面积是正的，结局应当是负的，这跟导数符号要分清楚。

另外，反三角函数的定义域要注意，cos⁻¹(x) 只能是 [-1, 1] 之间，要是 x=2，就得用反正弦公式转换一下，别硬套了。 实际上大量时候我们只需求知道原函数长啥样，不用去推导。

比如 ∫ cos⁻¹(x) dx，这个就是 x·cos⁻¹(x) - ∫ x·(-sin(x)/√(1-x²)) dx，这个积分略微费事点，涉及到分子分母的三角换元。

这时候要是前面已经知道 sin⁻¹(x) 的原函数是 cos(x)，后面那个积分局部就能够利用这个关系，简化步骤。 总而言之，cos 的原函数，核心就是 sin(x) + C，反求就是 arcsin(x) 要么直接用公式。做题的时候多看看题，看看是被求导还是被积分，要是是导数，记住多减；要是是积分，记住多加。别总想着背那个复杂的公式，有时候好办点反而快。