反三角函数公式大全表 反正弦与余弦的三角换元法（三消法） 别整那些教科书里从头到尾一条线把 $x$ 和 $arcsin x$ 扯出来，咱们直接上实战派。三角换元法实际上就是个把无理式变成有理式的魔术。 你看 $sqrt{1-x^2}$，要是直接平方开根号，那就累死了。

不如设 $x = sin u$，那么 $1-x^2$ 自然就是 $cos^2 u$ 了，开根号瞬间变成 $cos u$。

这时候累加项里的 $u$ 就得换成本角 $theta$，展开后你会发现分母全是 $cos theta$，分子里混着 $sin^2 theta$ 和 $cos^2 theta$。

这就好比你做数学题，把最难的几步拆解成最基础的几步，最终发现原来都是 $cos theta$ 在捣鬼，那就不难了。 举个具体的例子。算 $int frac{dx}{1+x^2}$。

这玩意儿在微积分里是倒三角函数，但用三角换元得换个姿势。设 $x = tan u$，分母里的 $1+x^2$ 变成 $1+tan^2 u = sec^2 u$。积分就变成了 $int frac{sec^2 u}{sec^2 u} du = int du = u + C$。再回头换回去，$u$ 就是 $arctan x$。整个过程就像是在沙滩上搭积木，一块一块垒，最终盖成了塔，而塔顶的名字就是反正切函数。 还有那个最经典的 $sin^3 x + cos^3 x$，大量人卡在这里。设 $x = theta$，展开 $sin^3 x + cos^3 x$，你会发现分子里全是 $sin x, cos x$ 的乘积，分母全是 $sin x$ 和 $cos x$ 的平方和。

这时候直接凑微分，要么利用 $sin^2 x + cos^2 x = 1$ 把分母凑成常数，要么把分子凑成 $(sin x + cos x)(dots)$ 的形式，难题自然就解决了。

这就是所谓的“三消”，把复杂的分子分母拆成好办的各项之和与差。 反正弦的万能公式（半角法） 说到反正弦，还有两个相对“硬核”的公式，一个用于处理分母，一个用于处理分子，别把它们混为一谈。 在求 $int frac{1}{1+x^2} dx$ 的时候，大家可能第一反应就是凑 $sin^2$，但 $arcsin$ 的万能公式实际上是针对 $sec$ 的。让我们看看它的真面目： $$ int frac{1}{cos^2 x - sin^2 x} dx = int frac{1}{cos x cos x - sin x sin x} dx $$ 这一步看起来有点绕，实际上关键在于把 $cos^2 x - sin^2 x$ 写成 $(cos x - sin x)(cos x + sin x)$。

然后，分子分母与此同时除以 $cos^2 x$，把分母变成 $1 - tan^2 x$，分子变成 $sec^2 x$。 $$ frac{sec^2 x}{1 - tan^2 x} = frac{d}{dx}(arctan tan x) text{ (注意：这里要理解成反正切函数的导数结构，最终结局还是 } arctan text{ 的变形)} $$ 什么的，修正一下，标准的万能公式实际上是把 $sec$ 当作主变量。 $$ int frac{dx}{sec^2 x - tan^2 x} = int frac{sec^2 x}{1 + tan^2 x} dx $$ 这个变换忒顺了，出于 $sec^2 x$ 正好是分子的微分 $d(sec x)$ 的一局部，要么更直接地，它直接指向反正切函数的导数结构。 $$ int frac{d(tan x)}{sec^2 x - tan^2 x} = int frac{sec^2 x}{1 + tan^2 x} dx $$ 分开看，$sec^2 x$ 是 $u = tan x$ 的导数，分母 $1 + tan^2 x$ 正好是 $1 + u^2$。 $$ int frac{d(tan x)}{1 + tan^2 x} = arctan(tan x) = x $$ 这就通了。大量人纠结 $int frac{1}{1+x^2} dx$ 的标准答案写的是 $x + C$ 还是 $arctan x + C$，实际上本质是一样的，只是变量代换的角度不同。用 $tan x$ 代换时，拿到的是反正切本身；用 $sin x$ 代换时，处理的是 $sqrt{1-x^2}$ 这种形式，拿到的是反正弦。 再看另一个重点：处理 $sqrt{x^2 - a^2}$ 这种根式。

这个公式跟前面的 $sqrt{1-x^2}$ 挺像，但方向反了。 $$ sqrt{x^2 - a^2} = a sqrt{frac{x^2 - a^2}{a^2}} = a sqrt{1 - frac{a^2}{x^2}} $$ 把 $x/a$ 换成 $sec u$，那么 $sqrt{1 - frac{a^2}{x^2}}$ 就变成了 $sqrt{1 - tan^2 u}$？不对，这里要注意 $x$ 的范围。

要是 $x > a$，令 $x = a sec u$，那么 $sqrt{x^2 - a^2} = a tan u$。 $$ int frac{dx}{sqrt{x^2 - a^2}} = int frac{a sec u}{a tan u} dx $$ 利用 $dx = a sec u tan u du$，分子分母消掉 $a sec u tan u$，整个式子只剩下 $du$，积分结局是 $u + C$，再换回 $x$ 就是 $ln |x + sqrt{x^2 - a^2}| + C$。 这实际上就是对数代换法在解析几何里的体现，出于 $x + sqrt{x^2 - a^2}$ 正好等于 $sec u + tan u$，而 $sec u + tan u = tan(frac{pi}{4} + frac{u}{2})$。 反正切与反余切的特殊变换 再说说反正切 $arctan x$，它实际上是个挺“狡猾”的函数。大量初学者认定反正切只有 $x/(1+x^2)$ 这种形式，实际上不然。 $$ arctan x = frac{i}{2} ln frac{1+ix}{1-ix} $$ 这里 $i$ 是虚数单位。

要是你对 $ln$ 不益处理，要么不想用复数，实际上能够把它转化成反正弦要么反正切的形式。 比如，设 $x = tan u$，那么 $arctan x$ 就是 $u$。 再比如，$arcsin x$ 和 $arccos x$ 能够通过反正切联系起来： $$ arcsin x + arccos x = frac{pi}{2} $$ 这是出于 $sin(arcsin x) = x$，而 $sin(pi/2 - arccos x) = cos(arccos x) = x$，故此 $arcsin x = pi/2 - arccos x$。 同理，$arctan x + text{something} = text{something}$。 实际上有一个更优雅的恒等式： $$ arctan x = frac{1}{2i} ln frac{1+ix}{1-ix} $$ 要是你把 $ln$ 换成 $ln$ 的另一种形式，比如 $ln frac{1+ix}{1-ix} = ln frac{1-(-ix)}{1-ix}$，这看起来像是对数函数的加法公式，但分母变了。 还有一个常用的技巧是拆分： $$ arctan x = arcsin left( frac{x}{sqrt{1+x^2}} right) $$ 这是通过三角代换 $tan u = x$，得 $sin u = frac{x}{sqrt{1+x^2}}$。

反过来，要是你看到 $arcsin$ 里面有个根号分母，脑子里立马要跳出 $arctan$ 的公式。 工程上的实用技巧与误区 最终说说实际应用，别被理论绕晕了。 在工程里，我们时常遇到 $int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}} dx$ 这种积分，答案就是 $arcsin(x/a) + C$。大量人写错，写成 $-text{arccosh}$ 要么 $text{arccsc}$。 为啥？出于 $sqrt{a^2-x^2}$ 对应的是直角三角形的对边和斜边关系，想象一个 $45^circ$ 的角，对边是 $1$，斜边是 $sqrt{2}$，然后缩放到 $a$，就拿到 $sin(alpha) = x/a$，故此 $alpha = arcsin(x/a)$。 要是题目是 $int frac{1}{xsqrt{x^2-1}} dx$，这时候 $x > 1$，令 $x = sec u$，你会拿到对数形式。 还有一个常见的坑：$text{arccot}(x) = arctan(1/x)$。

这个在 $x > 0$ 时成立。

要是你写成 $arctan(x/1)$，那就变成 $x$ 了，彻底错了。要注意三分量的关系：$arctan x + text{arccot } x = pi/2$。 在计算 $int frac{1}{1+x^2} dx$ 时，要是你非要写成反正弦的形式，那就是 $arcsin left( frac{x}{sqrt{1+x^2}} right)$。别看结局值不同，但形式不同，积分过程彻底不同。前者用 $sin$ 代换，后者用 $cos$ 代换。 总结一下，反三角函数不是死记公式，而是不同角度代表的同一个量。$sin^{-1}$ 你看的是角度本身，$cos^{-1}$ 也是，$tan^{-1}$ 还是。当你把根式搞掉了，把分母变成 $1 pm x^2$ 或 $1 pm x^2 pm x^4$ 时，你就是在找对应的角度代换。 最终给个建议：做题时，先平方去掉根号，看分母是不是 $1+x^2$ 要么 $1-x^2$。

要是是，要么求反正切，要么求反正弦（或反正余切）。

要是是 $x^2-a^2$ 要么 $a^2-x^2$，那就换 $x = a sec u$ 要么 $x = a cosh u$。别硬凑，这是数学的直觉，不是你背诵的公式能替代的。